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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 72

Quando a e b são reais, definimos e ( a + i b ) x com a equação

e ( a   + i b ) x =   e a x ⋅   e i b x   =   e a x ( c o s   b x   +   i   s e n   b x ) .

Derive o lado direito dessa equação para mostrar que

d d x e ( a + i b ) x =   ( a + i b ) e ( a + i b ) x .

Dessa forma, a regra familiar ( d / d x ) e k x   =   k e k x valerá para k complexo, bem como real.

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem? Então, vamos lá!

Essa questão é bem direta ao ponto, temos que derivar

e ( a   + i b ) x =   e a x ⋅   e i b x   =   e a x ( c o s   b x   +   i   s e n   b x )

para obter

d d x e ( a + i b ) x =   ( a + i b ) e ( a + i b ) x .

Passo 2

Derivando o lado direito da expressão, obtemos

  d d x e a x ( c o s   b x   +   i   s e n   b x ) = d d x e a x ( c o s   b x   +   i   s e n   b x ) + e a x d d x ( c o s   b x   +   i   s e n   b x )

  ⇒ d d x e a x ( c o s   b x   +   i   s e n   b x ) = a e a x ( c o s   b x   +   i   s e n   b x ) + e a x ( - b   s e n   b x   +   i b   c o s   b x )

Agora, organizamos os termos

  ⇒ d d x e a x ( c o s   b x   +   i   s e n   b x ) = a e a x ( c o s   b x   +   i   s e n   b x ) + i b e a x ( i   s e n   b x +   c o s   b x )

  ⇒ d d x e a x ( c o s   b x   +   i   s e n   b x ) = ( a + i b ) e a x ( c o s   b x   +   i   s e n   b x )

  ⇒ d d x e a x ( c o s   b x   +   i   s e n   b x ) = ( a + i b ) e a x e i b x

Ou seja,

d d x e ( a + i b ) x =   ( a + i b ) e ( a + i b ) x

como a gente queria mostrar. Curtiu? Então, te espero na próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.

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