Encontre a série de Maclaurin para f(x) usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R_n(x) → 0. Encontre também o raio de convergência associado.

12.

f(x) = ln(1 + x)

Passo 1

Fala, gente bonita! Tudo show?

Pela definição da série de Maclaurin, a questão pede pra gente encontrar uma série desse camarada pela função que nos deu. Além disso, quer o raio de convergência.

A série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Onde f n ( a ) é a derivada de ordem n da função no ponto central da série a .

Então vamos achar as derivadas, substituir no ponto x = 0 e encontrar um padrão dessas derivadas nesse ponto.

Passo 2

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0

f x = ln ⁡ 1 + x ⇒ f 0 = 0

f ' x = 1 1 + x ⇒ f ' 0 = 1

f ' ' x = - 1 1 + x 2 ⇒ f ' ' 0 = - 1

f ' ' ' x = 2 1 + x 3 ⇒ f ' ' ' 0 = 2

f ' ' ' ' x = - 6 1 + x 4 ⇒ f ' ' ' ' x =   - 6

Agora que temos alguns resultados, vamos sempre substituir essa sequência aqui:

f 0 + f ' 0 ⋅ x + f ' ' 0 ⋅ x 2 2 ! + f ' ' ' 0 ⋅ x 3 3 ! + f ' ' ' ' 0 ⋅ x 4 4 ! + …

Ou seja, agora vamos substituir os resultados quando f ( n ) 0 :

0 + 1 ⋅ x - 1 ⋅ x 2 2 ! + 2 ⋅ x 3 3 ! - 6 ⋅ x 4 4 ! + …

Melhorando:

x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + …

Logo, existe uma sequência que podemos representar dessa forma:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x n

Passo 3

Sendo assim, pelo Teste da Razão, iremos descobrir o raio de convergência.

Sendo nosso a n = x n n e a n + 1 = x n + 1 n + 1 , colocamos na fórmula:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 x n n

Como temos uma divisão de frações, podemos inverter o denominador e passamos a multiplicar com ele:

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 ⋅ n x n

Colocando alguns termos em evidência e cancelando:

lim n → ∞ ⁡ x n ⋅ x 1 n 1 + 1 n ⋅ n x n

lim n → ∞ ⁡ x 1 + 1 n

Como 1 ∞ tende a zero, nosso resultado é x .

Dessa forma, temos que, para convergência:

x < 1

E, consequentemente:

R = 1

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x n

R = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.39. lim(x → 0) [ sen(3x^2) / (1 - cos(2x)) ]
Utilize a definição de e^(iθ) para mostrar que, para quaisquer números reais θ, θ1 e θ₂ ,a. e^(iθ1) * e^(iθ2) = e^(i(θ1 + θ2)) , b. e^(-iθ) = 1 / e^(iθ) .
a. Utilize a série binomial e o fato de qued / dx s * n^(-1) x = (1 - x^2)^(-1/2) para gerar os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para se(n-1) x . Qual é o raio de convergê
Estimando Pi: Cerca de quantos termos da série de Taylor para t g - 1x teriam de ser utilizados para avaliar cada termo do lado direito da equação π=48t g - 1 1 18 +32t g - 1 1 57 - 20t g - 1 1 239 co
O que é uma série binomial? Em que intervalo essa série converge? Como ela é utilizada?