Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 12
Encontre a série de Maclaurin para usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que possui uma expansão em série de potências. Não mostre que Encontre também o raio de convergência associado.
12.
Passo 1
Fala, gente bonita! Tudo show?
Pela definição da série de Maclaurin, a questão pede pra gente encontrar uma série desse camarada pela função que nos deu. Além disso, quer o raio de convergência.
A série de Maclaurin é da forma
Onde é a derivada de ordem da função no ponto central da série .
Então vamos achar as derivadas, substituir no ponto e encontrar um padrão dessas derivadas nesse ponto.
Passo 2
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir
Agora que temos alguns resultados, vamos sempre substituir essa sequência aqui:
Ou seja, agora vamos substituir os resultados quando :
Melhorando:
Logo, existe uma sequência que podemos representar dessa forma:
Passo 3
Sendo assim, pelo Teste da Razão, iremos descobrir o raio de convergência.
Sendo nosso e , colocamos na fórmula:
Como temos uma divisão de frações, podemos inverter o denominador e passamos a multiplicar com ele:
Colocando alguns termos em evidência e cancelando:
Como tende a zero, nosso resultado é .
Dessa forma, temos que, para convergência:
E, consequentemente: