Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 62

Utilize a série de Taylor para 1 / ( 1   -   x 2 ) para obter uma série para 2 x / ( 1 - x 2 ) 2 .

Passo 1

E aí, pessoal! Bora lá para mais uma questão? Bora!

O enunciado pede para a gente usar a série de 1 / ( 1   -   x 2 ) para obter 2 x / ( 1 - x 2 ) 2 e é exatamente isso que vamos fazer. Começando com a série

1 1   - x = 1 + x + x 2 +   ⋯   + ( - 1 ) n x n +   ⋯   = ∑ n = 0 ∞ x n ,   | x | < 1

Agora, vamos trocar x por x 2 :

1 1   - x 2 = 1 + x 2 + x 4 +   ⋯   + x 2 n +   ⋯   = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ,   | x | < 1

Passo 2

Multiplicando essa série por ela mesma, conseguimos 1 ( 1   - x 2 ) 2 :

1 ( 1   - x 2 ) 2 = 1 1   - x 2 1 1   - x 2

1 ( 1   - x 2 ) 2 = 1 + x 2 + x 4 + ⋯ + x 2 n + ⋯ 1 + x 2 + x 4 + ⋯ + x 2 n + ⋯

Vamos olhar cada termo da multiplicação:

para 1 :

1 ⋅ 1 + x 2 + x 4 + ⋯ + x 2 n + ⋯   = 1 + x 2 + x 4 + ⋯ + x 2 n + ⋯  

⇒ 1 ⋅ 1 + x 2 + x 4 + ⋯ + x 2 n + ⋯   = ∑ n = 0 ∞   x n  

para x 2 :

x 2 ⋅ 1 + x 2 + x 4 + ⋯ + x 2 n + ⋯   = x 2 + x 4 + x 6 + ⋯ + x 2 n + 2 + ⋯

⇒ x 2 ⋅ 1 + x 2 + x 4 + ⋯ + x 2 n + ⋯   = ∑ n = 1 ∞   x 2 n

para x 4 :

x 4 ⋅ 1 + x 2 + x 4 + ⋯ + x 2 n + ⋯   = x 4   + x 6   + x 8 + ⋯ + x 2 n +   ⋯

⇒ x 4 ⋅ 1 + x 2 + x 4 + ⋯ + x 2 n + ⋯   = ∑ n = 2 ∞   x 2 n

E assim por diante.

Passo 3

Somando todos os termos, ficamos com

1 ( 1   - x 2 ) 2 = 1 + 2 x 2 + 3 x 4 + ⋯ + ( n + 1 ) x 2 n + ⋯

Agora, só precisamos multiplicar esse resultado por 2 x para obter

2 x ( 1   - x 2 ) 2 = 2 x + 2 x 3 + 3 x 5 + ⋯ + ( n + 1 ) x 2 n + 1 + ⋯

⇒ 2 x ( 1   - x 2 ) 2   =   2 ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x 2 n + 1

Mais uma questão finalizada. Nos vemos na próxima!

Resposta

2 x ( 1   - x 2 ) 2   =   2 ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x 2 n + 1

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a soma da série. 1 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 2 2 ! - ln ⁡ 2 3 3 ! + …
Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada. ∫ 0 0,4 1 + x 4 d x ,( e r r o5.10 - 6 )
Use multiplicação ou divisão de séries de potência para encontrar os três primeiros termos não nulos na série de Maclaurin para cada função. y = e x l n ⁡ ( 1 + x )
Encontre a soma das séries. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 . 3 n n 5 n
Use multiplicação ou divisão de séries de potência para encontrar os três primeiros termos não nulos na série de Maclaurin para cada função. y = sec ⁡ x