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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 30

Dois vértices de um retângulo R estão sobre o eixo x e os outros dois sobre o gráfico de y = x 1 + x 2 , x > 0 . Considere o cilindro que se obtém girando o retângulo R em torno do eixo x . Determine o retângulo R de modo que o volume do cilindro seja o maior possível.

Passo 1

Para isso, vamos pensar o seguinte. Dois dos vértices estão em x, portanto a base é o intervalo Δ x = x - x 0 . E a função y é a altura do retângulo, de fome que y x = y x 0 .

Bem, temos que o volume do cilindro é dado por:

V = 2   π   Δ x   y 2

Para achar uma relação entre x e x 0 , vamos usar o fato da função y ser igual para os dois valores:

y x = y x 0

x 1 + x 2 = x 0 1 + x 0 2

1 1 x + x   = 1 1 x 0 + x 0  

1 x + x = 1 x 0 + x 0

Colocando o x em evidência:

x 0 x 2 - x 0 2 + 1 x + x 0 = 0

Usando bhaskara:

x = 1 2 x 0 2 + 1 ± x 0 2 - 1

Bem, temos duas soluções:

x =   x 0 e x = 1 x 0

Para termos um retângulo x ≠ x 0   .

Passo 2

Agora, vamos aplicar o resultado na equação para o volume do cilindro:

V = 2   π   Δ x   y 2 = 2 π x - x 0 y 2

V = 2 π x - 1 x x 1 + x 2 2 = 2 π x 3 - x 2 1 + x 2 2    

Agora, para achamos o ponto de máximo, vamos derivar e igualar a derivada a zero:

d V d x = 2   π 3 x 2 - 1 1 + x 2 - x 3 - x 4 x 1 + x 2 3 = 0

Dessa forma, chegamos a:

x 4 - 6 x 2 + 1 = 0

Podemos criar uma nova variável b = x 2 ,

b 2 - 6 b + 1 = 0

b = 3 ± 8

Portanto,

x = ±   3 ± 2 2

Vamos ficar apenas com a parte positiva, pois pelo enunciado x > 0   .

x =   3 ± 2 2

Chamando d =   3 ± 2 2 , temos que o retângulo é descrito pelos vértices :

( d , 0 ) , 1 d , 0 , d , d 1 + d 2 e 1 d , d 1 + d 2  

Resposta

( d , 0 ) , 1 d , 0 , d , d 1 + d 2 e 1 d , d 1 + d 2   onde, d =   3 ± 2 2

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