Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 149
Drenagem de um tanque
Água escoa do tanque cônico mostrado na figura a seguir a uma vazão de 5 .
a. Qual é a relação entre as variáveis h e r na figura?
b. A que taxa o nível da água diminui quando h = 6 pés?
Passo 1
Para obter a relação entre as variáveis h e r da figura podemos perceber no desenho do enunciado que existem dois cones de tamanhos diferentes. O valor do raio da base do menor cone é e o valor do raio da base do maior cone é .
Passo 2
Fazendo um desenho bidimensional da metade do tanque (como mostrado a seguir) é possível observar dois triângulos retângulos.
Passo 3
Com o desenho feito, podemos obter a relação desejada entre as variáveis h e r através do método de semelhança de triângulos. Portanto:
Passo 4
A vazão dada pelo enunciado representa a taxa de volume que sai do tanque por unidade de tempo e, assim, . Além disso, é a profundidade da água no tanque e r é o raio da superfície da água ambos no instante t. Considerando que V, h e r são funções deriváveis de t e que as dimensões do tanque são constantes, a taxa com a qual o nível da água diminui é . Devemos lembrar também que a água no tanque forma um cone com volume .
Passo 5
Nesse caso, o enunciado não nos dá informações sobre as variáveis e , logo é necessário substituir . Para tanto, podemos utilizar a relação obtida na parte a do exercício, tal que
Dessa forma, podemos substituir na equação de V:
Derivando a equação:
Passo 6
Logo, utilizando os valores dados pelo enunciado, conseguimos encontrar o que se pede:
Resposta
a.
b. O nível da água está diminuindo a uma taxa de aproximadamente