Dê um exemplo de duas funções f e g , tais que f não seja derivável em g(0) , g seja derivável em 0 e f ∘ g seja derivável em 0 .

Passo 1

Essa é mais uma questão para acabar com alguns mitos da regra da cadeia! Não é porque f ' ( g ( x ) ) não existe que ( f ∘ g ) ' ( x ) não vai existir. A questão pede justamente para acharmos um contraexemplo disso.

Precisamos achar uma função g ( x ) que seja derivável em x = 0 e uma função f ( x ) que não seja derivável em g ( 0 ) , de modo que a composta f g x admita derivada em x = 0 .

Uma função que não é derivável é o módulo. Assim, se escolhermos f x = | x | , que não é derivável em x = 0 , basta achar uma função g derivável em x = 0 e com g 0 = 0 tal que f g 0 exista!

Passo 2

A escolha parece simples: g x = x 2 . Note que g ' ( 0 ) existe e que

f g x = x 2 = x 2

Portanto, f ∘ g é derivável em todos os pontos, em particular em x = 0 .

Resposta

f x = | x |     e     g x = x 2

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