Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 86
No exercício 61 dos exercícios 3.1 você provou que se for derivável em , então
Mostre, usando a função valor absoluto, que é possível existir o limite acima, mesmo que não exista.
Passo 1
No exercício 61 da seção 3.1, provamos que se o limite que define a derivada de uma função num ponto existir, então
Assim, caso a função seja derivável, temos dois limites que podemos calcular para verificar isso. A pergunta que fica é: a recíproca é verdadeira? Se o limite existir, significa que o limite existe?
A questão diz que não e pede para usarmos a função para verificar isso!
Passo 2
Sabemos que a função módulo não é derivável em . De fato
Sabemos que os limites laterais dão , de modo que o limite não existe. Assim, não existe . No próximo passo vamos tentar calcular o outro limite.
Passo 3
Agora vamos tentar calcular
Mas sabemos que . Assim,
Portanto, neste caso, o limite , mesmo o limite não existindo. Vemos assim que para os casos em que não é derivável, os limites podem não concordar. Tanto, que uma das hipóteses na demonstração do exercício 61 da seção 3.1 era justamente que devia ser derivável em !
Resposta
Demonstração.