No exercício 61 dos exercícios 3.1 você provou que se f for derivável em a , então

f ' a = lim Δ x → 0 ⁡ f a + Δ x - f ( a - Δ x ) 2   Δ x

Mostre, usando a função valor absoluto, que é possível existir o limite acima, mesmo que f ' ( a ) não exista.

Passo 1

No exercício 61 da seção 3.1, provamos que se o limite que define a derivada de uma função f num ponto x = a existir, então

f ' a = lim Δ x → 0 ⁡ f a + Δ x - f ( a - Δ x ) 2   Δ x

Assim, caso a função seja derivável, temos dois limites que podemos calcular para verificar isso. A pergunta que fica é: a recíproca é verdadeira? Se o limite lim Δ x → 0 ⁡ f a + Δ x - f ( a - Δ x ) 2   Δ x existir, significa que o limite lim Δ x → 0 ⁡ f a + Δ x - f ( a ) Δ x existe?

A questão diz que não e pede para usarmos a função f x = | x | para verificar isso!

Passo 2

Sabemos que a função módulo não é derivável em x = 0 . De fato

lim Δ x → 0 ⁡ f a + Δ x - f ( a ) Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ f 0 + Δ x - f ( 0 ) Δ x = lim x → 0 ⁡ | Δ x | Δ x

Sabemos que os limites laterais dão ± 1 , de modo que o limite não existe. Assim, não existe f ' ( 0 ) . No próximo passo vamos tentar calcular o outro limite.

Passo 3

Agora vamos tentar calcular

lim Δ x → 0 ⁡ f a + Δ x - f ( a - Δ x ) 2   Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ f 0 + Δ x - f ( 0 - Δ x ) 2   Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ Δ x - | - Δ x | 2   Δ x

Mas sabemos que Δ x - - Δ x = Δ x - Δ x = 0 . Assim,

lim Δ x → 0 ⁡ Δ x - | - Δ x | 2   Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ 0 2   Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ 0 = 0

Portanto, neste caso, o limite lim Δ x → 0 ⁡ f a + Δ x - f ( a - Δ x ) 2   Δ x , mesmo o limite lim Δ x → 0 ⁡ f a + Δ x - f ( a ) Δ x não existindo. Vemos assim que para os casos em que f não é derivável, os limites podem não concordar. Tanto, que uma das hipóteses na demonstração do exercício 61 da seção 3.1 era justamente que f devia ser derivável em x = a !

Resposta

Demonstração.

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