5) Um tanque cilíndrico com raio 5 m está sendo enchido com água a uma taxa de 3   m 3 / m i n . Quão rápido estará aumentando a altura da água?

Passo 1

Opa, bora lá resolver esse problema! Estamos enchendo um tanque cilíndrico de raio r , de água a uma taxa de   3   m 3 / m i n . Queremos saber a que taxa o nível de água esta aumentando!

Temos:

d V d t = 3   m 2 / m i n

Queremos:

d h d t = ? ? ? ?

A primeira coisa que devemos fazer é relacionar o volume da água em função da sua altura:

V = π r 2 h

Agora a gente mete bala na derivada:

d V d t = d d t π r 2 h

O que fizemos foi derivar os dois lados em relação ao tempo! π e r são constantes, então podemos colocar elas pra fora:

d V d t = π r 2 d h d t

Passo 2

Conhecemos d V d t , então agora é só isolar a taxa da altura e calcular:

  d h d t = d V d t 1 π r 2

d h d t = 3 m 3 / m i n π 5   m 2

d h d t = 3 25 π m / m i n  

E é isso! A altura varia a uma razão de 3 25 π m/min.

Resposta

A altura varia a uma razão de 3 25 π m/min.

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