Duas variáveis dependentes

Expresse yx em termos de u e y se as equações x = y ln u e y = u ln y definem u e y como funções das variáveis independentes x e y e se yx existe. (Sugestão: diferencie ambas as equações em relação a x e resolva para yx eliminando ux .)

Passo 1

Seguimos a dica dada na tarefa. Nosso procedimento aqui é direto. Recebemos 2 funções implícitas e sabemos que v=v(x,y) e u=u(x,y). Somos obrigados a encontrar v x .

Passo 2

Vamos primeiro relembrar como diferenciamos as funções implícitas. Nesse caso, como v é uma função de x e y, a diferenciação implícita de v em relação a x significa que tratamos todos os termos que não contêm u,v ou x como uma constante. Quando encontramos v ou u, diferenciamos como se fosse igual a x e adicionamos v x ou u x como um termo adicional.

x = v ln ⁡ u

y = u ln ⁡ v

1 = v x ln ⁡ u + v u x u

0 = u x ln ⁡ v + u v x v

Mais uma vez, observe como usamos a diferenciação implícita nos termos do lado direito. Para elaborar ainda mais, na primeira equação sabemos que v e u são funções de x e y. Diferenciamos a expressão como um produto. A diferenciação implícita de v é v ' v x = v x enquanto o termo ln ⁡ u permanece como parte da regra do produto. Para o outro termo temos v ( ln ⁡ u ) ' u x = v u x u

u x = - u v x v ln ⁡ v

1 = v x ln ⁡ u - v x ln ⁡ v → v x = 1 ln ⁡ u - 1 ln ⁡ v

Resposta

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