18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,   g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que

g ' x = - ∂ f ∂ x x ,   g x ∂ f ∂ y x ,   g x

Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,   g x ≠ 0 .

Passo 1

Inicialmente sabemos o seguinte:

f x ,   g x = 0

Derivando em relação a x , temos:

d d x f x ,   g x = d d x 0

Como a derivada de uma constante é 0:

d d x f x ,   g x = 0     ( i )

Passo 2

Agora vamos partir para derivada!

d d x f x ,   g x = 1 × ∂ f ∂ x x ,   g x + g ' x × ∂ f ∂ y x ,   g x

Usando ( i ) :

∂ f ∂ x x ,   g x + g ' x ∂ f ∂ y x ,   g x = 0

Agora vamos isolar o termo g ' ( x ) :

g ' x ∂ f ∂ y x ,   g x = - ∂ f ∂ x x ,   g x

Portanto,

g ' x = - ∂ f ∂ x x ,   g x ∂ f ∂ y x ,   g x

Com isso, provamos o que o enunciado nos pede 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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