16. Seja z = u \* f(u-v, u+v) . Verifique que

u (∂z/∂u) + u (∂z/∂v) = z + 2u^2 (∂f/∂y)

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

z = u f u - v ,   u + v

Pra verificar o que o enunciado nos pede, precisamos achar algumas derivadas parciais, como:

∂ z ∂ u , ∂ z ∂ v e ∂ f ∂ y

Primeiro vamos escrever nossa função como   f ( x , y ) .

x = u - v

Derivando em relação a u :

∂ x ∂ u = 1

Derivando em relação a v :

∂ x ∂ v = - 1

Agora vamos ver para o y :

y = u + v

Derivando em relação a u :

∂ y ∂ u = 1

Derivando em relação a v :

∂ y ∂ v = 1

Passo 2

Então nossa fica o seguinte:

z = u f x , y

Escrevendo u em termos de x e y :

x = u - v

y = u + v

Logo,

u = x + y 2

Assim,

z = x + y 2 f x , y

Passo 3

Pra começar, vamos encontrar ∂ z ∂ u .

z = x + y 2 f x , y

Derivando em relação a u :

∂ z ∂ u = 1 2 ∂ x ∂ u + ∂ y ∂ u × f u - v ,   u + v + x + y 2 × ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

Do Passo 1:

∂ x ∂ u = 1 e ∂ y ∂ u = 1

Logo,

∂ z ∂ u = 1 2 1 + 1 × f u - v ,   u + v + x + y 2 × ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y

Portanto,

∂ z ∂ u = f u - v ,   u + v + x + y 2 × ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y

Passo 4

Agora vamos ver como fica o ∂ z ∂ v .

z = x + y 2 f x , y

Derivando em relação a u :

∂ z ∂ v = 1 2 ∂ x ∂ v + ∂ y ∂ v × f u - v ,   u + v + x + y 2 × ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Do Passo 1:

∂ x ∂ v = 1 e ∂ y ∂ v = - 1

Então,

∂ z ∂ v = 1 2 1 - 1 × f u - v ,   u + v + x + y 2 × - ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y

Portanto,

∂ z ∂ u = x + y 2 × - ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y

Passo 5

Pra finalizar, vamos ver como fica o termo:

u ∂ z ∂ u + u ∂ z ∂ v

Somando o que achamos no Passo 3 com o que achamos no Passo 4:

∂ z ∂ u + ∂ z ∂ u = f u - v ,   u + v + x + y 2 × ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + x + y 2 × - ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y

Assim,

∂ z ∂ u + ∂ z ∂ u = f u - v ,   u + v + 2 × x + y 2 × ∂ f ∂ y

Como x + y 2 = u :

∂ z ∂ u + ∂ z ∂ u = f u - v ,   u + v + 2 × u × ∂ f ∂ y

Para verificarmos com o que o enunciado nos diz, basta multiplicarmos por u em ambos os lados. Assim, u ∂ z ∂ u + u ∂ z ∂ u = u f u - v ,   u + v + 2 u 2 ∂ f ∂ y

Portanto,

u ∂ z ∂ u + u ∂ z ∂ v = z + 2 u 2 ∂ f ∂ y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados