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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 16

16. Seja z = u f (u - v , u + v) . Verifique que

u (del z)/(del u) + u (del z)/(del v) = z + 2 u^2 (del f)/(del y)

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

z = u f (u - v , u + v)

Pra verificar o que o enunciado nos pede, precisamos achar algumas derivadas parciais, como:

(del z)/(del u) , (del z)/(del v) e (del f)/(del y)

Primeiro vamos escrever nossa função como f ( x , y ) .

x = u - v

Derivando em relação a u :

(del x)/(del u) = 1

Derivando em relação a v :

(del x)/(del v) = - 1

Agora vamos ver para o y :

y = u + v

Derivando em relação a u :

(del y)/(del u) = 1

Derivando em relação a v :

(del y)/(del v) = 1

Passo 2

Então nossa fica o seguinte:

z = u f (x , y)

Escrevendo u em termos de x e y :

x = u - v

y = u + v

Logo,

u = (x + y)/(2)

Assim,

z = (x + y)/(2) f (x , y)

Passo 3

Pra começar, vamos encontrar (del z)/(del u) .

z = (x + y)/(2) f (x , y)

Derivando em relação a u :

(del z)/(del u) = (1)/(2) ((del x)/(del u) + (del y)/(del u)) xx f (u - v , u + v) + (x + y)/(2) xx ((del f)/(del x) (del x)/(del u) + (del f)/(del y) (del y)/(del u))

Do Passo 1:

(del x)/(del u) = 1 e (del y)/(del u) = 1

Logo,

(del z)/(del u) = (1)/(2) (1 + 1) xx f (u - v , u + v) + (x + y)/(2) xx ((del f)/(del x) + (del f)/(del y))

Portanto,

(del z)/(del u) = f (u - v , u + v) + (x + y)/(2) xx ((del f)/(del x) + (del f)/(del y))

Passo 4

Agora vamos ver como fica o (del z)/(del v) .

z = (x + y)/(2) f (x , y)

Derivando em relação a u :

(del z)/(del v) = (1)/(2) ((del x)/(del v) + (del y)/(del v)) xx f (u - v , u + v) + (x + y)/(2) xx ((del f)/(del x) (del x)/(del v) + (del f)/(del y) (del y)/(del v))

Do Passo 1:

(del x)/(del v) = 1 e (del y)/(del v) = - 1

Então,

(del z)/(del v) = (1)/(2) (1 - 1) xx f (u - v , u + v) + (x + y)/(2) xx (- (del f)/(del x) + (del f)/(del y))

Portanto,

(del z)/(del u) = (x + y)/(2) xx (- (del f)/(del x) + (del f)/(del y))

Passo 5

Pra finalizar, vamos ver como fica o termo:

u (del z)/(del u) + u (del z)/(del v)

Somando o que achamos no Passo 3 com o que achamos no Passo 4:

(del z)/(del u) + (del z)/(del u) = f (u - v , u + v) + (x + y)/(2) xx ((del f)/(del x) + (del f)/(del y)) + (x + y)/(2) xx (- (del f)/(del x) + (del f)/(del y))

Assim,

(del z)/(del u) + (del z)/(del u) = f (u - v , u + v) + 2 xx (x + y)/(2) xx (del f)/(del y)

Como (x + y)/(2) = u :

(del z)/(del u) + (del z)/(del u) = f (u - v , u + v) + 2 xx u xx (del f)/(del y)

Para verificarmos com o que o enunciado nos diz, basta multiplicarmos por u em ambos os lados. Assim, u (del z)/(del u) + u (del z)/(del u) = u f (u - v , u + v) + 2 u^2 (del f)/(del y)

Portanto,

u (del z)/(del u) + u (del z)/(del v) = z + 2 u^2 (del f)/(del y)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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