Calcule pelos dois processos descritos no exemplo .
- , ,
Passo 1
Bora lá, galera, vamos calcular essa derivada das duas formas. A primeira que ele mostrou pra gente é substituindo o e o direto na expressão de , e depois derivar em , assim:
Substituindo,
Derivando (sem esquecer da regrinha da cadeia!)
Derivando o polinômio e arrumando, chegamos em:
Passo 2
Beleza, agora vamos pro outro método, o da regra da cadeia direto! A expressão dela é assim:
Vamos calcular cada parcelinha separado! Primeiro as derivadas parciais:
Agora as derivadas “normais” hahah
Juntando tudo na expressão da regra da cadeia:
Substituindo e pelas expressões em :
Arrumando,
Resposta
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Suponha que y = g(x) seja diferenciável no intervalo aberto I e da dada implicitamente pela equação f(x, y) = 0 , onde f(x, y) é suposta de classe C^2 . Suponha, ainda, ∂f/∂y (x, y) ≠ 0 em Df .a) Prov
Seja g u , v = f ( x , y ) , onde x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema u = x 2 + y 2 v = x y Suponha x ∂ f ∂ x - y ∂ f ∂ y = 0 .a) Mostre que ∂ y ∂ u = - y x ∂ x ∂ u
Sejam x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema u = x 2 + y 2 v = x y a) Expresse ∂ x ∂ u e ∂ y ∂ u em termos de x e y .b) Determine um par de funções x = x ( u , v ) e y
Sejam x = x(y, z) , y = y(x, z) e z = z(x, y) definidas implicitamente pela equação F(x, y, z) = 0 . Suponha x₀ = x(y₀, z₀) , y₀ = y(x₀, z₀) , z_0 = z(x_0, y_0) e que no ponto (x_0, y_0, z_0) as deriv
Calcule:a) ∂(F, G) / ∂(x, y) sendo F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 e G(x, y, z) = x + y + z .b) ∂(u, v) / ∂(y, z) sendo u = x * y * z e v = x^3 + y^2 .c) ∂(x, y) / ∂(r, s) sendo x = r + 3s + t^2 e y = r^