Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 1a
Calcule pelos dois processos descritos no exemplo .
- , ,
Passo 1
Bora lá, galera, vamos calcular essa derivada das duas formas. A primeira que ele mostrou pra gente é substituindo o e o direto na expressão de , e depois derivar em , assim:
Substituindo,
Derivando (sem esquecer da regrinha da cadeia!)
Derivando o polinômio e arrumando, chegamos em:
Passo 2
Beleza, agora vamos pro outro método, o da regra da cadeia direto! A expressão dela é assim:
Vamos calcular cada parcelinha separado! Primeiro as derivadas parciais:
Agora as derivadas “normais” hahah
Juntando tudo na expressão da regra da cadeia:
Substituindo e pelas expressões em :
Arrumando,
Resposta
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Suponha que y = g ( x ) seja diferenciável no intervalo aberto I e da dada implicitamente pela equação f x , y = 0 , onde f ( x , y ) é suposta de classe C 2 . Suponha, ainda, ∂ f ∂ y x , y ≠ 0 em D f
Seja g u , v = f ( x , y ) , onde x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema u = x 2 + y 2 v = x y Suponha x ∂ f ∂ x - y ∂ f ∂ y = 0 .a) Mostre que ∂ y ∂ u = - y x ∂ x ∂ u
Sejam x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema u = x 2 + y 2 v = x y a) Expresse ∂ x ∂ u e ∂ y ∂ u em termos de x e y .b) Determine um par de funções x = x ( u , v ) e y
Sejam x = x ( y , z ) , y = y ( x , z ) e z = z x , y definidas implicitamente pela equação F x , y , z = 0 . Suponha x 0 = x ( y 0 , z 0 ) , y 0 = y ( x 0 , z 0 ) , z 0 = z ( x 0 , y 0 ) e que no pon
Calcule:a) ∂ F , G ∂ x , y sendo F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 e G x , y , z = x + y + z .b) ∂ u , v ∂ ( y , z ) sendo u = x y z e v = x 3 + y 2 .c) ∂ x , y ∂ ( r , s ) sendo x = r + 3 s + t 2 e y = r