Enunciado

Utiliza a tabela de integrais no fim do livro para avaliar a integral.

∫ 0 π x 2 ⋅ c o s ⁡ ( 3 x ) d x

Passo 1

A questão deseja que resolvamos a integral utilizando a tabela de integral do final do livro. Como, neste caso, temos uma integral definida vamos resolvê-la indefinidamente e depois aplicar os limites de integração. Sendo assim, façamos a seguinte substituição

u = 3 x → d u = 3 d x

E nossa integral fica sendo

∫ x 2 ⋅ cos ⁡ 3 x d x → 1 27 ⋅ ∫ u 2 ⋅ cos ⁡ u d u

Essa integral é tabelada e dada por

1 27 ⋅ u 2 ⋅ sin ⁡ u - 2 ⋅ ∫ u ⋅ sin ⁡ u   d u =

Onde a segunda integral também é tabelada. Outro detalhe importante é que aqui não estamos colocando a constante de integração pois vamos retornar para a variável x e calcular a integral de forma definida. Dessa forma, teremos

1 3 ⋅ x 2 ⋅ sin ⁡ 3 x - 2 27 ⋅ ( sin ⁡ 3 x - 3 x ⋅ c o s ( 3 x )

Passo 2

Assim, de forma definida teremos

1 3 ⋅ x 2 ⋅ sin ⁡ 3 x - 2 27 ⋅ ( sin ⁡ 3 x - 3 x ⋅ c o s 3 x 0 π = - 6 π 27 = - 2 π 9

Resposta

- 2 π 9

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