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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 26

Efetue a antidiferenciação:

int c o s e c^2 ( 2 theta ) d theta

Passo 1

Queremos calcular a integral:

int c o s e c^2 ( 2 theta ) d theta

Vamos chamar ela de I daqui pra frente, beleza? Bora lá, qual é o primeiro passo? Botar o que é constante pra fora, mas como não tem nada, vamos direto pra substituição marota. Pra facilitar nossa vida e não termos que ficar lidando com regra da cadeia, vamos substituir:

u = 2 theta

Derivando,

d u = 2 d theta

d theta = (d u)/(2)

Substituindo isso na integral:

I = int (c o s e c^2 (u) d u)/(2) = (1)/(2) int c o s e c^2 (u) d u

Passo 2

Isso aí a gente sabe integrar tranquilamente! Da nossa tabelinha, a integral de c o s e c^2 é - c o t !

I = (1)/(2) (- c o t (u)) + C

Voltando pra variável original:

I = - (1)/(2) c o t ( 2 theta ) + C

Fechou!

Resposta

I = - (1)/(2) c o t ( 2 theta ) + C

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