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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 39

14.39. Determine equações de (a) plano tangente e (b) reta normal a uma superfície dada no ponto especificado

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 ,     ( 4 , - 1,1 )

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Aqui a gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal a superfície:

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21

No ponto:

4 , - 1,1

Para isso iremos utilizar duas equações.

Vamos começar relembrando a equação do plano tangente

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

E a equação da reta normal

x - x 0 F x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 F y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 F z x 0 , y 0 , z 0

Em que x 0 , y 0 , z 0 é o ponto especificado. Veja que precisaremos calcular as derivadas parciais para a nossa função, vamos começar daí então.

Passo 2

Vamos assumir que o nível da superfície está em

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21

Vamos colocar ela em termos de função:

f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 21

E vamos reunir outras informações que a gente precisa. Vamos derivar em relação a x :

F x = 2 x

O mesmo para y :

F y = 4 y

E por ultimo para z :

f z = 6 z

Agora iremos calcular essas derivadas parciais no ponto dado:

F x 4 , - 1,1 = 2 x

F x = 2 4 = 8

F y 4 , - 1,1 = 4 y

F y = 4 - 1 = - 4

F z 4 , - 1,1 = 6 z

F z = 6 1 = 6

Passo 3

Agora a gente tem tudo para começar a resolver o exercício. Vamos começar pelo item (a), o plano tangente:

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

Agora a gente substitui os valores que encontramos, e o ponto dado:

8 x - 4 + - 4 y - - 1 + 6 z - 1 = 0

Agora é só fazer as continhas:

4 x - 2 y + 3 z = 21

Passo 4

Agora vamos resolver o item (b), a equação de uma reta normal:

x - x 0 F x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 F y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 F z x 0 , y 0 , z 0

Substituindo o que já encontramos:

x - 4 8 = y + 1 - 4 = z - 1 6

Resposta

a   4 x - 2 y + 3 z = 21 b x - 4 8 = y + 1 - 4 = z - 1 6

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