Enunciado

Calcular a área da superfície obtida pela revolução da parábola y 2 = 8 x ,   1 ≤ x ≤ 12 , ao redor do eixo dos x .

Passo 1

Nesses casos a gente usa a seguinte fórmula:

A = 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

Vamos começar derivando então...

Nossa função é y 2 = 8 x , então y = 8 x (os valores de x só positivos)

y ' = 1 2 8 x 8 = 4 8 x

Agora a gente joga na fórmula:

A = 2 π ∫ 1 12 8 x 1 + 4 8 x 2 d x

Passo 2

Vamos desenvolver agora...

A = 2 π ∫ 1 12 8 x 1 + 16   8 x   d x

A = 2 π ∫ 1 12 8 x 8 x + 16 8 x   d x

A = 2 π ∫ 1 12 8 x + 16 d x

A = 2 π ∙ 1 8 ∙ 2 3 8 x + 16 3 2 1 12

A = 2 π 2 24 112 3 2 - 24 3 2

A = π 6 [ 112 3 2 - 24 3 2 ]   u . a  

Prontinho! Essa é a área pedida😉

Resposta

A = π 6 [ 112 3 2 - 24 3 2 ]   u . a  

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Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . 9 x = y 2 + 18 ,2 ≤ x ≤ 6
Encontre a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x : x = 1 3 y 2 + 2 3 / 2 ,1 ≤ y ≤ 2
Encontre a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x : x = 1 + 2 y 2 ,1 ≤ y ≤ 2
Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado. x = y ,1 ≤ y ≤ 4 ,e i x od o sy