Uma empresa fábrica caixas de papelão em três tamanhos: pequena, média e grande. O custo é de $   2,50 para fabricar uma caixa pequena, $   4,00 para uma caixa média e $   4,50 para uma caixa grande. Os custos fixos são de $   8000 .

a) Expresse o custo da fabricação de x caixas pequenas, y caixas médias e z caixas grandes como uma função de três variáveis: C = f ( x ,   y ,   z ) .

b) Encontre f ( 3000 ,   5000 ,   4000 ) e interprete-a.

c) Qual o domínio de f ?

Passo 1

a) Então galera, o próprio enunciado nos diz que as variáveis x , y e z representam, respectivamente, as caixas pequenas, médias e grandes. Ademais, o custo fixo é de $   8000 , então já sabemos que esse será a constante da nossa função. Escrevendo isso, teremos:

C = f ( x ,   y ,   z )

C = 8000 + 2,5 x + 4 y + 4,5 z

E é um resultado que realmente faz sentido, uma vez que para produzir caixas pequenas ( x ) custa $   2,50 , caixas médias custa $   4,00 e caixas grandes custa $   4,50 . É por isso que esses valores estão multiplicando as variáveis!

Passo 2

b) Encontrando f ( 3000 ,   5000 ,   4000 ) :

f x ,   y ,   z = 8000 + 2,5 x + 4 y + 4,5 z

f ( 3000 ,   5000 ,   4000 ) = 8000 + 2,5 . ( 3000 ) + 4 . ( 5000 ) + 4,5 . ( 4000 )

f 3000 ,   5000 ,   4000 = 53500

Esse resultado é exatamente o valor em dólares necessário para fabricar 3000 caixas pequenas, 5000 caixas médias e 4000 caixas grandes. Em outras palavras, o custo necessário é $   53500 .

Passo 3

c) Então pessoal, quanto à fabricação das caixas existem algumas condições: a primeira é que as caixas não podem ser produzidas pela metade; a segunda é que o resultado de uma fabricação não pode nos ceder um resultado negativo, não é mesmo? Sendo assim, x , y e z têm que ser inteiros positivos ou zero, uma vez que zero seria nenhuma fabricação, o que faz sentido também!

Resposta

a) C = 8000 + 2,5 x + 4 y + 4,5 z

b) f 3000 ,   5000 ,   4000 = 53500

c) x ,   y   e z são Z + (inteiros positivos)

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