Uma empresa fábrica caixas de papelão em três tamanhos: pequena, média e grande. O custo é de $2,50 para fabricar uma caixa pequena, $4,00 para uma caixa média e $4,50 para uma caixa grande. Os custos fixos são de $8000 .a) Expresse o custo da fabricação de x caixas pequenas, y caixas médias e z caixas grandes como uma função de três variáveis: C = f ( x ,y ,z ) .b) Encontre f ( 3000 ,5000 ,4000 ) e interprete-a.c) Qual o domínio de f ?

a) C = 8000 + 2,5 x + 4 y + 4,5 z b) f 3000 ,5000 ,4000 = 53500 c) x ,y e z são Z + (inteiros positivos)

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.1 - Ex. 8

Uma empresa fábrica caixas de papelão em três tamanhos: pequena, média e grande. O custo é de para fabricar uma caixa pequena, para uma caixa média e para uma caixa grande. Os custos fixos são de .

a) Expresse o custo da fabricação de caixas pequenas, caixas médias e caixas grandes como uma função de três variáveis: .

b) Encontre e interprete-a.

c) Qual o domínio de ?

Passo 1

a) Então galera, o próprio enunciado nos diz que as variáveis , e representam, respectivamente, as caixas pequenas, médias e grandes. Ademais, o custo fixo é de , então já sabemos que esse será a constante da nossa função. Escrevendo isso, teremos:

E é um resultado que realmente faz sentido, uma vez que para produzir caixas pequenas custa , caixas médias custa e caixas grandes custa . É por isso que esses valores estão multiplicando as variáveis!

Passo 2

b) Encontrando :

Esse resultado é exatamente o valor em dólares necessário para fabricar caixas pequenas, caixas médias e caixas grandes. Em outras palavras, o custo necessário é .

Passo 3

c) Então pessoal, quanto à fabricação das caixas existem algumas condições: a primeira é que as caixas não podem ser produzidas pela metade; a segunda é que o resultado de uma fabricação não pode nos ceder um resultado negativo, não é mesmo? Sendo assim, , e têm que ser inteiros positivos ou zero, uma vez que zero seria nenhuma fabricação, o que faz sentido também!

Resposta

c) e são (inteiros positivos)

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Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensão x , y e z .

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Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:o comprimento de uma escada apoiada como na figura 1.35.

Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:f) A distância entre dois pontos P ( x , y , z ) e Q ( u , v , w ) .

Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:g) A temperatura nos pontos de uma esfera se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual à distância do ponto ao centro da esfera.