Enunciado

Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

y = 1 x + 1 ,   y = 1 x ,   y = 2 x + 1   e   x = - 3

Passo 1

A região é essa:

Passo 2

Aqui a gente vai ter que dividir a região em duas.

A primeira região a gente vai considerar as funções de vermelho e azul, que são respectivamente, y = 1 x - 1 e y = 1 x . E aí o intervalo vai ser de - 3   a - 1 . Vai ser assim:

A 1 = ∫ - 3 - 1 1 x - 1 - 1 x d x

(o x é negativo nos dois intervalos, então a função do módulo é negativa)

A 1 = ∫ - 3 - 1 1 1 - x - 1 x d x

  - ln ⁡ 1 - x - ln ⁡ x - 3 - 1

=   - ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 + ln ⁡ 4 + ln ⁡ 3

- ln ⁡ 2 + ln ⁡ 4 + ln ⁡ 3

Deixa assim por enquanto...

Passo 3

Agora vamos pra segunda região, que vai de - 1   a   0 . Nesse intervalo, as funções que estão presentes são y = 1 x + 1   e   y = 2 x + 1 .

Aí a área vai ser:

A 2 = ∫ - 1 0 1 x + 1 - 2 x + 1 d x

A 2 = ∫ - 1 0 1 1 - x - 2 x - 1   d x

A 2 = - ln ⁡ 1 - x - 2 x 2 2 - x - 1 0

A 2 =   - ln ⁡ 1 - 0 - 0 + ln ⁡ | 2 | + 1 - 1

A 2 = ln ⁡ 2

Passo 4

Agora a gente soma as duas áreas:

A =   A 1 + A 2

A = - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 4 + ln ⁡ 3 + ln ⁡ 2

A = ln ⁡ 4 + ln ⁡ 3

A = ln ⁡ 12

Prontinho! Essa é a área da região pedida😊

Resposta

A = ln ⁡ 12

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