Nos exercícios 42 a 47 , determinar as derivadas parciais indicadas

f(x, y) = 1 / raiz(x^2 + 4y^2), ∂²f / ∂x², ∂²f / ∂xy

Passo 1

Galerinha, vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a x , é dada por:

∂ f ∂ x = - 1 2 2 x x 2 + 4 y 2 - 3 2

∂ f ∂ x = - x x 2 + 4 y 2 3 2

Passo 2

Agora, vamos calcular a derivada de 2 ª ordem da função! Em relação a x , temos:

∂ 2 f ∂ x 2 = - x - 3 2 x 2 + 4 y 2 - 5 2 2 x + x 2 + 4 y 2 - 3 2 - 1

∂ 2 f ∂ x 2 = 3 x 2 x 2 + 4 y 2 - 5 2 - x 2 + 4 y 2 - 3 2

Se derivamos ∂ z ∂ x em relação a y , teremos:

∂ 2 f ∂ x y = - x 8 y x 2 + 4 y 2 - 5 2

∂ 2 f ∂ x y = 12 x y x 2 + 4 y 2 5 2

As derivadas de ordem 3 também serão iguais a zero, uma vez que as de segunda ordem já são zero.

Resposta

As derivadas são iguais a:

∂ 2 f ∂ x 2 = 3 x 2 x 2 + 4 y 2 - 5 2 - x 2 + 4 y 2 - 3 2

∂ 2 f ∂ x y = 12 x y x 2 + 4 y 2 5 2

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