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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 42

Nos exercícios 42   a   47 , determinar as derivadas parciais indicadas

f x , y = 1 x 2 + 4 y 2 , ∂ 2 f ∂ x 2 , ∂ 2 f ∂ x y

Passo 1

Galerinha, vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a x , é dada por:

∂ f ∂ x = - 1 2 2 x x 2 + 4 y 2 - 3 2

∂ f ∂ x = - x x 2 + 4 y 2 3 2

Passo 2

Agora, vamos calcular a derivada de 2 ª ordem da função! Em relação a x , temos:

∂ 2 f ∂ x 2 = - x - 3 2 x 2 + 4 y 2 - 5 2 2 x + x 2 + 4 y 2 - 3 2 - 1

∂ 2 f ∂ x 2 = 3 x 2 x 2 + 4 y 2 - 5 2 - x 2 + 4 y 2 - 3 2

Se derivamos ∂ z ∂ x em relação a y , teremos:

∂ 2 f ∂ x y = - x 8 y x 2 + 4 y 2 - 5 2

∂ 2 f ∂ x y = 12 x y x 2 + 4 y 2 5 2

As derivadas de ordem 3 também serão iguais a zero, uma vez que as de segunda ordem já são zero.

Resposta

As derivadas são iguais a:

∂ 2 f ∂ x 2 = 3 x 2 x 2 + 4 y 2 - 5 2 - x 2 + 4 y 2 - 3 2

∂ 2 f ∂ x y = 12 x y x 2 + 4 y 2 5 2

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Seja f (x , y , z) = (1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) . Verifique que(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) + (del^2 f)/(del z^2) = 0
Verifique que (del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) = 0 , onde f (x , y) = ln (x^2 + y^2) .
Seja f : A ∈ R 3 → R , A aberto de classe C 2 Justifique as igualdades:a) ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x b) ∂ 2 f ∂ x ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ x c) ∂ 2 f ∂ y ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ y
Sejam f , g : A ∈ R 2 → R , A aberto, duas funções de classe C 2 e tais que ∂ f ∂ x = ∂ g ∂ y e ∂ f ∂ y = - ∂ g ∂ x Prove que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 e ∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ y 2 = 0 .
Verifique que x (del^2 z)/(del x del y) + y (del^2 z)/(del y^2) = 0 , onde z = (x + y) e^((x)/(y)) .