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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 45

Nos exercícios 42   a   47 , determinar as derivadas parciais indicadas

w = 1 - x 2 - y 2 - z 2 , ∂ 2 w ∂ z 2 , ∂ 2 w ∂ x ∂ y

Passo 1

Galerinha, vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a z , é dada por:

∂ w ∂ z = 1 2 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 1 2 ( - 2 z )

∂ w ∂ z = - z 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 1 2

Se derivarmos mais uma vez em relação a z , temos:

∂ 2 w ∂ z 2 = - z - 1 2 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 3 2 - 2 z + 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 1 2 - 1

∂ 2 w ∂ z 2 = - z 2 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 3 2 - 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 1 2

Passo 2

Agora, vamos derivar w em relação a y :

∂ w ∂ y = 1 2 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 1 2 ( - 2 y )

∂ w ∂ y = - y 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 1 2

Por fim, derivando ∂ w ∂ y em relação a x :

∂ 2 w ∂ x ∂ y = - - 1 2 y 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 3 2 - 2 x

∂ 2 w ∂ x ∂ y = - x y 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 3 2

Resposta

A derivada é igual a:

∂ 2 w ∂ z 2 = - z 2 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 3 2 - 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 1 2

∂ 2 w ∂ x ∂ y = - x y 1 - x 2 - y 2 - z 2 - 3 2

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