Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.12 - Ex. 28

Encontrar a equação das retas tangentes à curva que sejam paralelas à reta . Usando uma ferramenta gráfico, esboçar o gráfico da curva, da reta dada e das tangentes encontradas.

Passo 1

Podemos calcular o coeficiente angular de uma reta tangente usando a definição da derivada de uma função, em que o coeficiente da reta tangente é a derivada da função no ponto desejado. Ou seja:

Onde representa o ponto desejado.

Uma reta tangente a curva, que também é paralela a uma outra reta, terá o mesmo coeficiente angular. Assim, com o coeficiente da reta paralela, podemos igualar a primeira derivada da curva e encontra todos os pontos em que há uma reta tangente a curva que seja paralela a reta dada.

Passo 2

Temos que calcular então a derivada da curva . Para calcular a derivada de podemos usar a regra do cociente. Assim temos:

A derivada de é

Passo 3

O coeficiente da reta tangente será o mesmo que o da reta paralela . Temos então que o coeficiente angular das retas tangente é .

Para encontrarmos a equação de uma reta, precisamos do coeficiente angular e um ponto que onde passa a reta.

Com o coeficiente angular, podemos encontrar os pontos pelo qual essas retas tangentes passam. Para isso igualamos o coeficiente encontrado com a primeira derivada da curva:

Resolvendo isso temos:

Por Bhaskara temos os pontos que satisfazem essa equação é quando: e .

Substituindo na equação da curva, teremos os pontos para encontrar as retas tangentes.

Para :

Temos então que uma reta tangente tem coeficiente angular é passa pelo ponto .

Para :

Temos então que a outra reta tangente tem coeficiente angular é passa pelo ponto .

Passo 4

Toda reta pode ser escrita da seguinte forma:

Onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Temos que o e temos que uma reta passa pelo ponto , e a outra passa pelo ponto , assim podemos substituir na equação da reta e encontrar para cada uma das retas.