g(x) = e^x - x possui um valor mínimo absoluto? E um máximo absoluto? Em caso afirmativo, calcule-os; do contrário, explique por que eles não existem. Liste todos os pontos críticos de g .

Passo 1

A fim de descobrir se a função possui mínimos ou máximos absolutos, deve-se fazer a derivada da mesma e igualar este resultado a zero, ou seja, verificar se existe ponto crítico.

Caso haja pontos críticos, estes devem ser analisados dentro do domínio da função.

Passo 2

Logo, derivando a função:

g ' x = e x - 1 = 0 ∴ x = 0

Encontra-se um ponto crítico em x = 0 e a função deve ser analisada antes e depois dele.

Passo 3

Verificando o comportamento da função ao redor do ponto crítico temos que:

Para x < 0 , f ' ( x ) é negativa;

Para x > 0 , f ' ( x ) é positiva.

Então, o ponto x = 0 é um mínimo local.

Passo 4

Também, para verificarmos se há mínimo ou máximo absolutos, pode-se aplicar os limites com x → ∞ e x → - ∞ .

Fazendo isso, nota-se que ambos resultam em , ou seja, não há pontos em que a curva da função esteja crescendo e, em algum ponto, passe a decrescer.

Portanto, não há máximo absoluto e, além de mínimo local, x = 0 é mínimo absoluto.

Resposta

Pontos críticos: x = 0 ;

Não há nenhum máximo absoluto;

Mínimo absoluto: ( 0 ,   1 ) .

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