Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.7 - Ex. 6
Suponha que seja derivável até a 2ª ordem em e tal que para todo .
- Prove que não admite ponto de máximo local.
- Prove que, se admitir um ponto crítico , então será ponto de mínimo local.
- Prove que poderá admitir no máximo um ponto crítico.
Passo 1
A primeira coisa que devemos lembrar é que para um ponto ser máximo local a sua primeira derivada tem que ser zero, portanto:
.
Substituindo o valor de na equação :
Portanto, não poderá ser um máximo local.
Passo 2
O ponto crítico ocorre quando zera a primeira derivada de :
Substituindo na equação dada:
Portanto, é um mínimo local, porque a segunda derivada é positiva.
Passo 3
Como foi visto nas letras a.) e b.), a função não possui máximo local, mas possui mínimo local. Então nesse caso, para termos dois pontos críticos precisaríamos ter dois mínimos locais, já que a função não aceita máximo local. Mas para termos dois mínimos locais precisamos obrigatoriamente ter pelo menos um máximo local, assim a funão aceita no máximo um ponto crítico.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)