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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 12

Encontrar a ,   b ,   c   e d tal que a função f x = 2 a x 3 + b x 2 - c x + d tenha pontos críticos em x = 0 e x = 1 . Se a > 0   , qual deles é ponto de máximo, qual é ponto de mínimo?

Passo 1

Para calcular os valores máximos e mínimos de uma função, seus extremos relativos, de forma simplificada primeiro precisamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável x .

Assim, derivando f ( x ) , temos que:

f ' x = 6 a x 2 + 2 b x - c

Passo 2

Igualando o resultado de f ' ( x ) a zero, temos:

6 a x 2 + 2 b x - c = 0

Dado que os pontos críticos pelo enunciado são x 1 = 0   e   x 2 = 1 .

Substituindo x = 0 , obtemos que:

6 a . 0 2 + 2 b . 0 - c = 0 ⇒ c = 0

E substituindo x = 1 , obtemos que:

6 a . 1 2 + 2 b . 1 - c = 0 ⇒ 6 a + 2 b = 0 ⇒ 3 a + b = 0 ⇒ b = - 3 a

Passo 3

O teste da segunda derivada diz que:

  1. Se f ' ' k < 0 , f tem um valor máximo relativo em k .
  2. Se f ' ' k > 0 , f tem um valor mínimo relativo em   k .

f ' ' x = 12 a x + 2 b

Para x 1 = 0 = k , temos:

⇒ f ' ' 0 = 2 b

Para x 2 = 1 = k , temos:

⇒ f ' ' 1 = 12 a + 2 b

Passo 4

Pelo enunciado, considerando a > 0 , b = - 3 a   e aplicando o teorema do passo anterior, temos:

P a r a   a > 0 ⇒ f ' ' 0 = 2 b = 2 - 3 a = - 6 a ⇒ f ' ' 0 < 0

Logo, 0 é ponto de máximo.

P a r a   a > 0 ⇒ f ' ' 1 = 12 a + 2 - 3 a = 12 a - 6 a = 6 a ⇒ f ' ' 1 > 0

Logo, 1   é ponto de mínimo.

Resposta

a = q u a l q u e r   r e a l ,   b =   - 3 a ,   c = 0 ,   d = q u a l q u e r   r e a l

0   p o n t o   d e   m á x i m o .

1   p o n t o   d e   m í n i m o .

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Se a função f x = x 3 + a x 2 + b x tem o valor mínimo local de - 2 9 3 em x = 1 / 3 , quais são os valores de a e b?Qual das tangentes à curva na parte (a) tem a menor inclinação? f x = x 3 + a x 2 +
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = 1 2 3 x - 1 ,x ≤ 3
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = 2 - 1 3 x , x ≥ - 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = s e nx, 0 ≤ xπ 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = 1 x ,1x3