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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 5b

5. Determine a função y = y (x) , x in R , tal que:

b)

(d y)/(d x) = x^3 - x + 1 e y (1) = 1

Passo 1

Olá, pessoal! Nessa questão, o enunciado forneceu a seguinte derivada de y em relação a x :

(d y)/(d x) = x^3 - x + 1

E ele perguntou quem é y ( x ) . Para eu resolver isso, eu tenho que fazer a operação inversa da derivada, ou seja, integrar.

Logo,

y = int (x^3 - x + 1) d x

Agora vamos integrar!

Passo 2

Temos essa integral para resolver,

y = int (x^3 - x + 1) d x

Repara que é a integral de um polinômio, então podemosar usar essa relação aqui,

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C , p a r a n != - 1

Onde, n é o expoente do polinômio.

Substituindo, temos que

int (x^3 - x + 1) d x = (x^(3 + 1))/(3 + 1) - (x^(1 + 1))/(1 + 1) + (x^(0 + 1))/(0 + 1) + C

Arrumando essas contas, temos:

y ( x ) = (x^4)/(4) - (x^2)/(2) + x + C

Agora só falta a gente descobrir quem é o nosso C .

Passo 3

Por fim, vamos usar aquela outra relação do enunciado para achar a constante C .

y (1) = 1

Como y ( x ) = (x^4)/(4) - (x^2)/(2) + x + C :

y (1) = (1^4)/(4) - (1^2)/(2) + 1 + C = 1

Assim,

C = (1)/(4)

Agora é só reescrever nossa função 😊

y ( x ) = (x^4)/(4) - (x^2)/(2) + x + (1)/(4)

Resposta

y ( x ) = (x^4)/(4) - (x^2)/(2) + x + (1)/(4)

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10- Determine a função cujo gráfico passe pelo ponto (0,1) e tal que a reta tangente no ponto de abscissa x intercepte o eixo 0x no ponto de abscissa x+1.
9- Utilizando o exercício 1 determine a função y = y(x), x ∈ R , que satisfaça as condições dadas.a)d y d x = 2 yey 0 =1 b) d y d x = 1 2yey 0 =2 c) d y d x = -yey 0 =- 1 d) d y d x = 2yey 0 =- 1 2
1. Calculeb) int 3 d x
1. Calculea) ∫ xd x
q)∫ ( 2 x + 3 x 2 ) d x