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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 4b

4. Verifique que

b)

int (1)/(1 + x^2) d x = a r c t g (x) + k

Passo 1

Nossa integral é a seguinte:

I = int (1)/(1 + x^2) d x

De primeira pode não ser muito intuitivo, mas com o tempo essa ideia vai se repetir e você vai ficar casca grossa. Vamos lá!

Lá da trigonométrica a gente sabe o seguinte:

s e n^2 (theta) + cos^2 (theta) = 1

dividindo os dois lados por cos^2 (theta) :

t g^2 (theta) + 1 = sec^2 ( theta )

Viu que ficou parecido?! Então vem comigo.

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição

x = t g (theta) , theta in ( - (pi)/(2) , (pi)/(2) )

Derivando,

d x = sec^2 (theta) d theta

Nossa integral era:

I = int (1)/(1 + x^2) d x

Usando nossa substituição:

I = int (1)/(1 + t g^2 (theta)) sec^2 (theta) d theta

Passo 3

Lá do Passo 1, sabemos o seguinte: 1 + t g^2 (theta) = sec^2 ( theta )

Usando isso na nossa integral:

I = int (1)/(sec^2 ( theta )) sec^2 (theta) d theta

Simplificando:

I = int d theta = theta + k

Agora é só voltarmos para variável x .

x = t g (theta) -> theta = a r c t g (x)

Portanto,

I = a r c t g (x) + k

Então tá verificado!

int (1)/(1 + x^2) d x = a r c t g (x) + k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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