Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 7
Uma partícula desloca-se sobre o eixo com velocidade . Sabe-se que, no instante , a partícula encontra-se na posição .
a) Qual a posição da partícula no instante ?
b) Determine a posição da partícula no instante .
c) Determine a aceleração.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu a função que descreve a velocidade de uma partícula, , com , e nos disse que no instante inicial , ela se encontra na posição .
A partir disso, nós precisamos determinar a posição da partícula em qualquer instante de tempo , a posição dela quando e a sua aceleração.
Pra isso, precisamos lembrar que a velocidade é definida como a derivada da posição em relação ao tempo , ou seja:
E que a sua aceleração é a variação da velocidade no tempo, então é representada pela derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos usar essas definições para encontrar os valores que procuramos. Vamos lá!
Passo 2
a) Usando a definição de velocidade, temos:
Como , teremos:
E como a integral é a operação inversa da derivada, para encontrar a função da posição, basta integrar essa expressão:
Para descobrir o valor da constante , vamos utilizar a informação de que quando . Assim, substituindo na expressão, temos:
Logo, a posição da partícula no instante será:
Passo 3
b) Agora para determinar a posição da partícula no instante , basta substituir na função que acabamos de obter no passo :
Passo 4
c) Por fim, vamos determinar a aceleração, lembrando que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
E derivando , temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
a)
b)
c)