Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 44
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
Faala coleguinha... vamos pra mais uma?
Falaaa aeee, vamos para mais uma questão?
Nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Domínio
Nossa função é:
Como possuímos uma divisão, não podemos ter um denominador igual a zero, dessa forma, nossa função não está definida no .
Nosso domínio é .
Passo 3
Intersecções com os eixos
No eixo , a intersecção ocorre em
Como está fora do domínio, então nossa função não intercepta o eixo .
No eixo , a interseção ocorre em
Para isso ocorrer é preciso que , no entanto a função exponencial nunca é zero, ela no máximo tende a zero quando tende a menos infinito
Mas como ela não chega a ser zero de verdade, temos que a função não intercepta o eixo .
Passo 4
Simetria
Fazendo
E fazendo
E como
Não há simetria com o eixo .
Passo 5
Assíntotas
Como vimos há uma descontinuidade em , pois a função não é definida nesse ponto, portanto vale a pena verificar se há uma assíntota vertical em .
Há uma assíntota vertical em .
Vamos verificar os limites laterais para ver como ela se comporta pela esquerda e pela direita.
E
Portanto a função vai para quando tende a zero pela esquerda e vai para quando tende a zero pela direita.
Para as assíntotas horizontais, fazemos:
Vamos verificar primeiro com o tendendo a infinito positivo.
Temos uma indeterminação, podemos aplicar L’hospital. Derivando em cima e embaixo separadamente, temos:
Substituindo o limite:
Agora olhando para o tendendo ao infinito negativo.
Opa, encontramos aqui uma assíntota horizontal em .
Dessa forma, vemos que a função tende a quando tende a menos infinito e a função vai para mais infinito quando tende a mais infinito.
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento
Derivando a função, temos
Avaliando o sinal dessa expressão, temos que
A exponencial é positiva para qualquer .
A função também é positiva para qualquer .
Portanto, quem irá ditar o sinal da derivada é o fator:
Dessa forma, é positiva em e negativa em .
Portanto, nossa função está decrescendo entre e crescendo entre (1, .
Passo 7
Valores de máximo e mínimo locais
A função possui um ponto crítico em . Como a função decrescia até e depois passa a crescer, é um mínimo local.
Calclando o valor da função nesse ponto de mínimo, temos:
A função não possui valor de máximo local.
Passo 8
Concavidade e ponto de inflexão
Tirando a segunda derivada da função, temos
Aqui temos que é sempre positiva
E o fator e o fator podem trocar de sinal.
Portanto, para avaliar o sinal de vamos encontrar os pontos onde os fatores trocam de sinal.
é negativo quando e é positivo quando .
Já para o fator quadrático, temos:
Ao tentar resolver por Bhaskara, você vai ver que o delta dá negativo, portanto esse fator quadrático nunca zera e nunca troca de sinal.
Colocando qualquer valor de nesse fator, você verá que ele sempre é positivo. Vou testar aqui com .
Recapitulando, nossa segunda derivada é:
E temos que e que para qualquer .
Portanto, quem irá ditar o sinal da segunda derivada é o fator .
Como , quando . Temos que quando.
Isso quer dizer que a função possui concavidade para baixo em
Analogamente, quando . Portanto, temos que quando .
Issso quer dizer que a função possui concavidade para cima em .
é uma alternativa para ponto de inflexão, no entanto, essa função não é definida em , logo, ele não pode ser um ponto de inflexão.
Passo 9
Esboço da curva
Podemos então esboçar graficamente a curva
Percebe que tudo que vimos nos Passos anteriores está representado nessa curva.
A função decresce de até e então cresce de até .
A função possui concavidade para baixo de até e então possui concavidade para cima de até .
A função possui assíntota horizontal em quando tende para menos infinito.
A função possui assíntota vertical em , sendo que ela vai para menos infinito pela esquerda e para mais infinito pela direita.
A função possui um ponto de mínimo local em .
Tudo lindo!
Resposta
