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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 5e

5. Determine a função y = y (x) , x in R , tal que

e)

(d y)/(d x) = (1)/(2) x + 3 e y (- 1) = 0

Passo 1

Pra começar ele nos disse o seguinte:

(d y)/(d x) = (1)/(2) x + 3

Então,

y = int ((1)/(2) x + 3) d x

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + k quando n != - 1

Passo 2

Agora vamos integrar.

y = int ((1)/(2) x + 3) d x

Assim,

y = int (x)/(2) d x + int 3 d x

Tirando as constantes da integral:

y = (1)/(2) int x d x + 3 int d x

Agora é só usar o lembrete do Passo 1.

y ( x ) = (1)/(2) xx (x^(1 + 1))/(( 1 + 1 )) + 3 xx x + k

Arrumanda as coisas:

y ( x ) = (x^2)/(4) + 3 x + k

Passo 3

Pra finalizar, vamos usar que y (- 1) = 0 para achar o valor da constate k .

y (- 1) = ((- 1)^2)/(4) + 3 xx (- 1) + k

Logo,

y (- 1) = (1)/(4) - 3 + k

Mas y (- 1) = 0 .

0 = (1)/(4) - 3 + k

Portanto,

k = 11 // 4

Agora é só substituirmos k em y ( x )

y (x) = (x^2)/(4) + 3 x + (11)/(4)

Resposta

y (x) = (x^2)/(4) + 3 x + (11)/(4)

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