5. Determine a função y = y(x), x ∈ R, tal que

e)

dy/dx = 1/2 \* x + 3 e y(-1) = 0

Passo 1

Pra começar ele nos disse o seguinte:

d y d x = 1 2 x + 3

Então,

y = ∫ 1 2 x + 3 d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + k   quando   n   ≠ - 1

Passo 2

Agora vamos integrar.

y = ∫ 1 2 x + 3 d x

Assim,

y = ∫ x 2 d x + ∫ 3 d x

Tirando as constantes da integral:

y = 1 2 ∫ x d x + 3 ∫ d x

Agora é só usar o lembrete do Passo 1.

y ( x ) = 1 2 × x 1 + 1 ( 1 + 1 ) + 3 × x + k

Arrumanda as coisas:

y ( x ) = x 2 4 + 3 x + k

Passo 3

Pra finalizar, vamos usar que y - 1 = 0 para achar o valor da constate k .

y - 1 = - 1 2 4 + 3 × - 1 + k

Logo,

y - 1 = 1 4 - 3 + k

Mas y - 1 = 0 .

0 = 1 4 - 3 + k

Portanto,

k = 11 / 4

Agora é só substituirmos k em y ( x )

y x = x 2 4 + 3 x + 11 4

Resposta

y x = x 2 4 + 3 x + 11 4

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