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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 38

Encontre del z // del u e del z // del v quando u = 1 , v = - 2 se z = ln q e q = sqrt(v + 3) tg^(- 1) u .

Passo 1

Oi galerinha, para encontrarmos del z // del u e del z // del v , vamos primeiro fazer o diagrama de árvore, para montarmos a equação da regra da cadeia. Então:

Onde:

Agora iremos calcular as derivadas del q // del u e del q // del v , e sabemos que {[[u = 1],[v = - 2]]) .

Temos que q = sqrt(v + 3) tg^(- 1) u , para calcularmos del q // del u , precisamos relembrar:

y = tg^(- 1) u -> y^' = (1)/(1 + u^2)

Logo:

(del q)/(del u) = (sqrt(v + 3))/(1 + u^2) = (sqrt(- 2 + 3))/(1 + 1^2)

(del q)/(del u) = (1)/(2)

E del q // del v , sabemos que:

y = sqrt(u) -> y^' = (1)/(2 sqrt(u))

Então:

(del q)/(del v) = (tg^(- 1) u)/(2 sqrt(v + 3)) = (tg^(- 1) 1)/(2 sqrt(- 2 + 3)) = ((pi)/(4))/(2) = (pi)/(4) * (1)/(2)

(del q)/(del v) = (pi)/(8)

Passo 2

Para calcularmos a derivada d z // d q , vamos substituir os valores de {[[u = 1],[v = - 2]]) na equação de q :

q = sqrt(- 2 + 3) tg^(- 1) 1

q = (pi)/(4)

Agora vamos encontrar a derivada da função:

z = ln q

Sabemos que:

y = ln u -> y^' = (u ')/(u)

Logo:

(d z)/(d q) = (1)/(q) = (1)/((pi)/(4)) = 1 * (4)/(pi)

(d z)/(d q) = (4)/(pi)

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

(del z)/(del u) = (4)/(pi) * (1)/(2) = (2)/(pi)

(del z)/(del v) = (4)/(pi) * (pi)/(8) = (1)/(2)

Acabamos este exercício, até mais pessoal!

Resposta

(del z)/(del u) = (2)/(pi) , (del z)/(del v) = (1)/(2) .

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se z = f ( x , y ) , onde x = r 2 + s 2 e y = 2 r s , determine ∂ 2 z / ∂ r ∂ s . (Compare com o Exemplo 7.)
Encontre del w // del v quando u = 0 , v = 0 se w = x^2 + (y // x) , x = u - 2 v + 1 , y = 2 u + v - 2 .
Encontre del z // del u e del z // del v quando u = ln 2 , v = 1 se z = 5 tg^(- 1) x e x = e^u + ln v .
Encontre del w // del r quando r = 1 , s = - 1 se w = (x + y + z)^2 , x = r - s , y = cos (r + s) , z = sen (r + s) .