Encontre dz/du e ∂z/∂v quando u = 1 , v = -2 se z = ln(q) e q = raiz(v + 3) \* tg^(-1)(u) .

Passo 1

Oi galerinha, para encontrarmos ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v , vamos primeiro fazer o diagrama de árvore, para montarmos a equação da regra da cadeia. Então:

Onde:

Agora iremos calcular as derivadas ∂ q / ∂ u e ∂ q / ∂ v , e sabemos que u = 1       v = - 2 .

Temos que q = v + 3 tg - 1 ⁡ u , para calcularmos ∂ q / ∂ u , precisamos relembrar:

y = tg - 1 ⁡ u → y ' = 1 1 + u 2

Logo:

∂ q ∂ u = v + 3 1 + u 2 = - 2 + 3 1 + 1 2

∂ q ∂ u = 1 2

E ∂ q / ∂ v , sabemos que:

y = u → y ' = 1 2 u

Então:

∂ q ∂ v = tg - 1 ⁡ u 2 v + 3 = tg - 1 ⁡ 1 2 - 2 + 3 = π 4 2 = π 4 ∙ 1 2

∂ q ∂ v = π 8

Passo 2

Para calcularmos a derivada d z / d q , vamos substituir os valores de u = 1       v = - 2 na equação de q :

q = - 2 + 3 tg - 1 ⁡ 1

q = π 4

Agora vamos encontrar a derivada da função:

z = ln ⁡ q

Sabemos que:

y = ln ⁡ u → y ' = u ' u

Logo:

d z d q = 1 q = 1 π 4 = 1 ∙ 4 π

d z d q = 4 π

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

∂ z ∂ u = 4 π ∙ 1 2 = 2 π

∂ z ∂ v = 4 π ∙ π 8 = 1 2

Acabamos este exercício, até mais pessoal!

Resposta

∂ z ∂ u = 2 π , ∂ z ∂ v = 1 2 .

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