Encontre dz/du e ∂z/∂v quando u = ln 2 , v = 1 se z = 5 \* tg^(-1)(x) e x = e^u + ln(v) .

Passo 1

Oi galerinha, para encontrarmos ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v , vamos primeiro fazer o diagrama de árvore, para montarmos a equação da regra da cadeia. Então:

Onde:

Agora iremos calcular as derivadas ∂ x / ∂ u e ∂ x / ∂ v , e sabemos que u = ln ⁡ 2 v = 1           .

Temos que x = e u + ln ⁡ v , logo:

∂ x ∂ u = e u = e ln ⁡ 2

∂ x ∂ u = 2

E:

∂ x ∂ v = 1 v = 1 1

∂ x ∂ v = 1

Passo 2

Para calcularmos a derivada d z / d x , vamos substituir os valores de u = ln ⁡ 2 v = 1           na equação de x :

x = e ln ⁡ 2 + ln ⁡ 1 = 2 + 0

x = 2

Agora vamos encontrar a derivada da função:

z = 5 tg - 1 ⁡ x

Sabemos que:

y = tg - 1 ⁡ u → y ' = 1 1 + u 2

Logo:

d z d x = 5 ∙ 1 1 + x 2 = 5 1 + x 2

= 5 1 + 2 2 = 5 5

d z d x = 1

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

∂ z ∂ u = 1 ∙ 2 = 2

∂ z ∂ v = 1 ∙ 1 = 1

Tchau! Até mais.

Resposta

∂ z ∂ u = 2 , ∂ z ∂ v = 1 .

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