Encontre ∂z/∂u e ∂z/∂v quando u = ln(2) , v = 1 se z = 5 * tg^(-1)(x) e x = e^u + ln(v) .

Passo 1

Oi galerinha, para encontrarmos del z // del u e del z // del v , vamos primeiro fazer o diagrama de árvore, para montarmos a equação da regra da cadeia. Então:

Onde:

Agora iremos calcular as derivadas del x // del u e del x // del v , e sabemos que {[[u = ln 2],[v = 1]]) .

Temos que x = e^u + ln v , logo:

(del x)/(del u) = e^u = e^((ln 2))

(del x)/(del u) = 2

E:

(del x)/(del v) = (1)/(v) = (1)/(1)

(del x)/(del v) = 1

Passo 2

Para calcularmos a derivada d z // d x , vamos substituir os valores de {[[u = ln 2],[v = 1]]) na equação de x :

x = e^((ln 2)) + ln 1 = 2 + 0

x = 2

Agora vamos encontrar a derivada da função:

z = 5 tg^(- 1) x

Sabemos que:

y = tg^(- 1) u -> y^' = (1)/(1 + u^2)

Logo:

(d z)/(d x) = 5 * (1)/(1 + x^2) = (5)/(1 + x^2)

= (5)/(1 + 2^2) = (5)/(5)

(d z)/(d x) = 1

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

(del z)/(del u) = 1 * 2 = 2

(del z)/(del v) = 1 * 1 = 1

Tchau! Até mais.

Resposta

(del z)/(del u) = 2 , (del z)/(del v) = 1 .

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Verifique que a mudança de variáveis u = x + y v = y + 2x transforma a equação ∂²z(u,v) / ∂²x² - 3 * ∂²z(x,y) / ∂x ∂y + 2 * ∂²z(x,y) / ∂y² = 0 Em, (∂²z/(∂u ∂v)) = 0
a) Ache uma função u(x, y) da forma u(x, y) = F(x^2 + y^2) que satisfaça a equação de Laplace(∂²u / ∂x²) + (∂²u / ∂y²) = 0 b) Faça a mesma coisa para funções de três ou mais variáveis.
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