Exercícios de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior - Lista de Exercícios Resolvida

Sejam , de classe em , e .

Suponha que

Calcule

Seja uma função com derivadas parciais . , contínuas. Sejam

E

Assuma que

Sabendo que

Calcule em função de , e .

Seja uma função de duas variáveis com derivadas se segunda ordem contínuas. Se , em que e , determine .

Seja , de classe em , , . Calcule

Sabendo que , , ,

Considere a função

Verifique que

Seja uma função de duas variáveis com derivadas se segunda ordem contínuas. Se , em que e , determine .

A função é de classe C², e definimos

É possível mostrar que

O valor do coeficiente A é:

A distribuição de temperatura de um disco com centro na origem é dada por , de classe em . Sabe-se que

Calcule , sendo

Seja , de classe em , , . Calcule

Sabendo que , , ,

Seja uma função com derivadas parciais . , contínuas. Sejam

E

Assuma que

Sabendo que

Calcule em função de , e .

Seja função de classe e considere .

a) Calcule .

b) Verifique que

Seja de classe em , tal que

Para todo .

Sabendo-se que

E

Calcule .

Seja uma função de duas variáveis definida por :

Onde é uma constante. Suponha que as funções , possuam todas as derivadas de segunda ordem contínuas. Mostre que:

, ou seja,

Sugestão: Considere e

Mostre que qualquer função da forma

É solução da equação de onda

Seja , uma função de classe . Considere dada por

Sabendo que , , , e , o valor de é:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Sejam , de classe em

Suponha que

Calcule

Seja , uma função de classe . Considere dada por

Sabendo que , , , e , o valor de é:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Seja , , . Mostre que.

Suponha que em , , constante e satisfaz a equação

Determine constantes , , e para que , onde

Satisfaça a equação

Seja uma função de classe e seja

Calcule as derivadas parciais em termos das derivadas parciais de e determine o valor de para que a igualdade

seja válida para todo com .

Observação: Deixe os cálculos de TODAS as derivadas parciais na prova.