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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 51

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Se z = f ( x , y ) , onde x = r 2 + s 2 e y = 2 r s , determine ∂ 2 z / ∂ r ∂ s .

(Compare com o Exemplo 7.)

Passo 1

Então, galera... Aqui nós temos a função

z = f x , y ,

onde x = r 2 + s 2 e y = 2 r s e queremos determinar a seguinte derivada

∂ 2 z ∂ r ∂ s

Se temos

∂ 2 z ∂ r ∂ s

Quer dizer que derivamos z parcialmente em relação a s e depois a r .

Vamos ver como aplicar isso nessa questão.

Passo 2

Para uma variável, se temos uma função f ( x ) , onde x = x ( t ) , a derivada de f com relação a t será:

d f x d t = d f d x ⋅ d x d t

Assim, se temos uma função z = f ( x , y ) , onde   x e y são funções de variáveis r   e   s , fazemos a mesma coisa para cada variável e somamos os resultados:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

Lembrando que x = r 2 + s 2 e y = 2 r s , temos

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ( 2 s ) + ∂ z ∂ y ( 2 r )

Passo 3

Agora nós temos que pegar a equação anterior e derivar com relação a r , aí teremos a derivada pedida pelo enunciado,

∂ 2 z ∂ r ∂ s

Então, derivando em relação a r , no segundo termo teremos que aplicar a regra do produto

∂ 2 z ∂ r ∂ s = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ r + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ r 2 s + ∂ 2 z ∂ y 2 ∂ y ∂ r + ∂ 2 z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ r 2 r + 2 ∂ z ∂ y

Novamente, devemos lembrar que x = r 2 + s 2 e y = 2 r s ,   então:

∂ 2 z ∂ r ∂ s = ∂ 2 z ∂ x 2 ( 2 r ) + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ( 2 s ) 2 s + ∂ 2 z ∂ y 2 ( 2 s ) + ∂ 2 z ∂ x ∂ y ( 2 r ) 2 r + 2 ∂ z ∂ y

Calma, vamos melhorar um pouco isso aplicando a propriedade distribuída nos dois termos entre parêntesis:

∂ 2 z ∂ r ∂ s = ∂ 2 z ∂ x 2 4 r s + ∂ 2 z ∂ y ∂ x 4 s 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 4 r s + ∂ 2 z ∂ x ∂ y 4 r 2 + 2 ∂ z ∂ y

Podemos juntar os termos que contém a derivada ∂ 2 z ∂ x ∂ y :

∂ 2 z ∂ r ∂ s = ∂ 2 z ∂ x 2 4 r s + ∂ 2 z ∂ y 2 4 r s + ∂ 2 z ∂ x ∂ y 4 r 2 + 4 s 2 + 2 ∂ z ∂ y

Prontinho.

Passo 4

No exemplo 7 tivemos um resultado parecido, mas de certa forma invertendo algumas coisas, nesse exemplo foi calculado ∂ 2 z ∂ r 2 , para a mesma função e variáveis do enunciado, nele foi encontrado

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 4 r 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 4 s 2 + ∂ 2 z ∂ x ∂ y 8 r s + 2 ∂ z ∂ x

Podemos encontrar a semelhança e perceber as diferenças, no calculo de ∂ 2 z ∂ r ∂ s encontramos r 2 e s 2 nas segundas derivadas em relação a uma variável depois a outra, e os termos com r s nas derivadas a uma variável só ∂ 2 z ∂ x 2 ou ∂ 2 z ∂ y 2 , no exemplo 7 obtivemos o contrário.

Resposta

∂ 2 z ∂ r ∂ s = ∂ 2 z ∂ x 2 4 r s + ∂ 2 z ∂ y 2 4 r s + ∂ 2 z ∂ x ∂ y 4 r 2 + 4 s 2 + 2 ∂ z ∂ y

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