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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 33

Encontre del w // del r quando r = 1 , s = - 1 se w = (x + y + z)^2 , x = r - s , y = cos (r + s) , z = sen (r + s) .

Passo 1

Oi galerinha, para encontrarmos del w // del r , precisamos relembrar a equação da Regra da Cadeia neste caso:

(del w)/(del r) = (del w)/(del x) (del x)/(del r) + (del w)/(del y) (del y)/(del r) + (del w)/(del z) (del z)/(del r)

Então, primeiro iremos encontrar a derivada da função:

w = (x + y + z)^2

Neste caso as derivadas para x , y e z , serão iguais:

(del w)/(del x) = (del w)/(del y) = (del w)/(del z) = 2 (x + y + z)

Substituindo pelas equações do enunciado {[[x = r - s],[y = cos (r + s)],[z = sen (r + s)]]) :

= 2 [(r - s) + cos (r + s) + sen (r + s)]

Sabendo que {[[r = 1],[s = - 1]])

= 2 [(1 - ( - 1 )) + cos (1 - 1) + sen (1 - 1)]

= 2 [2 + cos 0 + sen 0]

= 2 (2 + 1 + 0) = 2 * 3

(del w)/(del x) = (del w)/(del y) = (del w)/(del z) = 6

Passo 2

Agora iremos fazer a derivadas del x // del r , del y // del r e del z // del r , para isso precisamos relembrar que:

{[[y = cos u -> y^' = - u^' sen u],[y = sen u -> y^' = u^' cos u]])

Sabemos que x = r - s , logo:

(del x)/(del r) = 1

Para y = cos (r + s) :

(del y)/(del r) = - sen (r + s) = - sen (1 - 1)

(del y)/(del r) = 0

E para z = sen (r + s) :

(del z)/(del r) = cos (r + s) = cos (1 - 1)

(del z)/(del r) = 1

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

(del w)/(del r) = 6 * 1 + 6 * 0 + 6 * 1 = 6 + 6

(del w)/(del r) = 12

Tchau pessoal, espero te ver em breve.

Resposta

(del w)/(del r) = 12

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