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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.6 - Ex. 24

Encontre y ' e   y ' '

y = ln ⁡ x x 2

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😊

Nesse problema temos que calcular a primeira e a segunda derivada da função

y = ln ⁡ x x 2

Tem ideia de como fazer isso? 😁

Perceba que a função y é composto pela razão de duas outras funções.

Portanto para obter a derivada de y temos que aplicar a regra do quociente

f x = g x h x → f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para calcular y ' usaremos a regra do quociente, daí ficamos com

y ' = 1 x ⋅ x 2 - ln ⁡ x ⋅ 2 x x 2 2 = x - 2 x ⋅ ln ⁡ x x 4 = x 1 - 2 ⋅ ln ⁡ x x 4 = 1 - 2 ln ⁡ x x 3

y ' = 1 - 2 ⋅ ln ⁡ x x 3

Agora, calcularemos y ' ' , para calcular esta derivada, basta derivarmos y ' . Nessa derivada usaremos a propriedade da derivada da soma (no numerador) e a regra do quociente, daí ficamos com,

y ' ' = - 2 ⋅ 1 x ⋅ x 3 - 3 x 2 ⋅ 1 - 2 ⋅ ln ⁡ x x 6 = - 2 x 2 - 3 x 2 + 6 x 2 ⋅ ln ⁡ x x 6 = x 2 - 5 + 6 ⋅ ln ⁡ x x 6 = - 5 + 6 ⋅ ln ⁡ x x 4      

y ' ' = - 5 + 6 ⋅ ln ⁡ x x 4      

E aí, o que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

y ' = 1 - 2 ⋅ ln ⁡ x x 3

y ' ' = - 5 + 6 ⋅ ln ⁡ x x 4      

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