Se f(x) = x^5 + x^3 + x , encontre f^(-1)(3) e f(f^(-1)(2)) .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

Nesse problema foi dada a função f x = x 5 + x 3 + x e nosso objetivo é obter f - 1 ( 3 ) e f ( f - 1 2 ) .

Parece complicado? 🤔

Temos a seguinte definição para função inversa de uma função f :

f - 1 y = x   ↔ f x = y

Bora lá! 😉

Passo 2

Assumindo então f - 1 ( 3 ) e que y = x 5 + x 3 + x ,podemos escrever que:

3 = x 5 + x 3 + x ∴

x = 1

Logo,

f - 3 = 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora, para f ( f - 1 2 ) , utilizando a mesma definição anterior, temos que:

f - 1 y = x   ↔ f x = y

Concentrando-se em f - 1 , podemos escrever:

2 = x 5 + x 3 + x

Resolvendo essa equação, chegaremos a um valor de x = a .

De modo que,

f - 1 2 = a

Ao jogamos isso em:

f f - 1 2 = f a

Mas substituindo x = a na equação,

y = x 5 + x 3 + x ∴

y = ( a ) 5 + ( a ) 3 + a = 2

Em outras palavras, substituindo y na primeira definição em x na segunda definição, obtemos que:

f f - 1 x = x

Logo,

f f - 1 2 = 2

Note que f “desfaz” o efeito de f - 1 e vice-versa.

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f - 3 = 1

f f - 1 2 = 2

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