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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.5 - Ex. 16

Se f (x) = x^5 + x^3 + x , encontre f^(- 1) ( 3 ) e f ( f^(- 1) (2) ) .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

Nesse problema foi dada a função f (x) = x^5 + x^3 + x e nosso objetivo é obter f^(- 1) ( 3 ) e f ( f^(- 1) (2) ) .

Parece complicado? 🤔

Temos a seguinte definição para função inversa de uma função f :

f^(- 1) (y) = x harr f (x) = y

Bora lá! 😉

Passo 2

Assumindo então f^(- 1) ( 3 ) e que y = x^5 + x^3 + x ,podemos escrever que:

3 = x^5 + x^3 + x :.

x = 1

Logo,

f^- (3) = 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora, para f ( f^(- 1) (2) ) , utilizando a mesma definição anterior, temos que:

f^(- 1) (y) = x harr f (x) = y

Concentrando-se em f^(- 1) , podemos escrever:

2 = x^5 + x^3 + x

Resolvendo essa equação, chegaremos a um valor de x = a .

De modo que,

f^(- 1) (2) = a

Ao jogamos isso em:

f (f^(- 1) (2)) = f (a)

Mas substituindo x = a na equação,

y = x^5 + x^3 + x :.

y = ( a )^5 + ( a )^3 + a = 2

Em outras palavras, substituindo y na primeira definição em x na segunda definição, obtemos que:

f (f^(- 1) (x)) = x

Logo,

f (f^(- 1) (2)) = 2

Note que f “desfaz” o efeito de f^(- 1) e vice-versa.

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f^- (3) = 1

f (f^(- 1) (2)) = 2

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