Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)

f(x) = x^20 + 4 + 8 + x^10

Passo 1

Opa! Blz?

O problema nos dá a seguinte função:

f x = x 20 + 4 x 10 + 8

E precisamos encontrar a antiderivada, ou seja, queremos achar as funções F ( x ) tais que F ' x = f ( x ) . Traduzindo, queremos encontrar uma função que quando fizermos a derivada dela, teremos exatamente a função do enunciado.

Como faremos isso?

Primeiro, vamos achar a antiderivada da função do enunciado para o caso mais geral, que é quando temos a constante C , pois não temos os limites onde a função está definida e vamos chama-la de F ( x )

Logo após, vamos derivar a nossa F ( x ) e verificar se ela corresponde a função do enunciado!

Seria como multiplicar e depois dividir para ver se acertamos a multiplicação.

Para encontrar a antiderivada de polinômios, basta aplicar o processo inverso do método de derivação. Para derivar x n descemos o n e diminuímos 1 no expoente, ficando n x n - 1 . Então para aplicar a antiderivada primeiro somamos 1 no expoente e dividimos pelo expoente resultante:

f x = x n ⇒ F x = x n + 1 n + 1

Desde que ( n ≠ 1 ) , neste caso temos outra regra.

Agora estamos prontos! Bora lá! ☺

Passo 2

Agora aplicamos o método para a nossa função:

f x = x 20 + 4 x 10 + 8

⇒ F x = x 20 + 1 20 + 1 + 4 x 10 + 1 10 + 1 + 8 x + C

⇒ F x = x 21 21 + 4 11 x 11 + 8 x + C

Essa será a nossa antiderivada, e não esqueça da constante C , combinado?

Passo 3

Agora vamos conferir se realmente achamos a nossa antiderivada. E é derivando que podemos verificar o resultado:

Aplicando a regra de derivação para o polinômio:

F x = x n → F ' x = n x n - 1

F ' x = 1 21 21 x 21 - 1 + 4 11 11 x 11 - 1 + 8 x 1 - 1

F ' x = 1 21 21 x 20 + 4 11 11 x 10 + 8 x 0

Simplificando:

f ( x ) = x 20 + 4 x 10 + 8

Então F ( x ) é de fato a antiderivada de f ( x ) . E assim terminamos a questão!

Conseguiu fazer? Responde Aí!

Resposta

F x = x 21 21 + 4 11 x 11 + 8 x + C

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