Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 4
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)
Passo 1
Opa! Blz?
O problema nos dá a seguinte função:
E precisamos encontrar a antiderivada, ou seja, queremos achar as funções tais que . Traduzindo, queremos encontrar uma função que quando fizermos a derivada dela, teremos exatamente a função do enunciado.
Como faremos isso?
Primeiro, vamos achar a antiderivada da função do enunciado para o caso mais geral, que é quando temos a constante , pois não temos os limites onde a função está definida e vamos chama-la de
Logo após, vamos derivar a nossa e verificar se ela corresponde a função do enunciado!
Seria como multiplicar e depois dividir para ver se acertamos a multiplicação.
Para encontrar a antiderivada de polinômios, basta aplicar o processo inverso do método de derivação. Para derivar descemos o e diminuímos 1 no expoente, ficando . Então para aplicar a antiderivada primeiro somamos 1 no expoente e dividimos pelo expoente resultante:
Desde que , neste caso temos outra regra.
Agora estamos prontos! Bora lá! ☺
Passo 2
Agora aplicamos o método para a nossa função:
Essa será a nossa antiderivada, e não esqueça da constante , combinado?
Passo 3
Agora vamos conferir se realmente achamos a nossa antiderivada. E é derivando que podemos verificar o resultado:
Aplicando a regra de derivação para o polinômio:
Simplificando:
Então é de fato a antiderivada de . E assim terminamos a questão!
Conseguiu fazer? Responde Aí!