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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 42

Encontre (d y)/(d x) usando qualquer método:

y = 2^( c o s (x) + l n ( x ))

Passo 1

Vamos derivar utilizando diferenciação logarítmica :

y = 2^( c o s (x) + l n ( x ))

Aplicando a função logaritmo natural de ambos os lados:

l n ( y ) = l n ( 2 )^(cos (x) + l n ( x ))

Aplicando propriedade de logaritmo:

l n ( y ) = ( cos (x) + l n ( x ) ) l n ( 2 )

Aplicando a derivada de ambos os lados:

(d)/(d x) [ l n ( y ] = (d)/(d x) [ (cos (x) + l n ( x )) ln (2) ]

Retirando a constante multiplicativa de dentro da derivada:

(d)/(d x) [ l n ( y ] = ln (2) (d)/(d x) [ (cos (x) + l n ( x )) ]

Derivando :

(d y)/(d x) . (1)/(y) = ln (2) [ - s e n (x) + (1)/(x) ]

Multiplica-se ambos os lados por y :

(d y)/(d x) = ln (2) [ - s e n (x) + (1)/(x) ] . ( 2^( c o s (x) + l n ( x )) )

Resposta

(d y)/(d x) = ln (2) [ - s e n (x) + (1)/(x) ] . ( 2^( c o s (x) + l n ( x )) )

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