Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 26
Encontre e :
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a primeira e a segunda derivada da função:
Observe que nós temos uma função composta. Isso significa que vamos ter que usar a regra da cadeia na derivação. Lembra dela? A regra da cadeia é dada por:
Observe que nós derivamos a função de fora, aplicada na função de dentro, e multiplicamos pela derivada da função de dentro.
Lembrando que a derivada de é igual a , beleza? Vamos lá!!
Passo 2
A função que queremos derivada é
E estamos olhando pra ela como sendo uma função composta. Assim:
E a regra da cadeia é
a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.
A derivada da de fora é a derivada de , então sua derivada será dada por:
Como
Show, e a derivada da função e dentro é
Aplicando a regra da cadeia, teremos:
Arrumando um pouco melhor, ficamos com:
Passo 3
Agora vamos pegar esse resultado que encontramos no passo e derivar novamente para obter a derivada de segunda ordem.
Observe que agora temos um quociente de funções, então vamos ter que aplicar a regra do quociente, dada por:
Aplicando para obter:
Como a derivada da constante é zero, ficamos com:
E para derivar , precisaremos deriva cada parcela separadamente.
A primeira é de boa.
Mas para
Usaremos a regra do produto. Onde
Assim,
O que nos dá:
Simplificando teremos:
Encaixando isso em nossa derivada de segunda ordem, teremos:
E simplificando, temos a nossa segunda derivada:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉