O raio de uma esfera cresce a taxa de 2 cm/min. Se o raio é 8 cm, qual a taxa de crescimento da área da esfera.

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema é de taxa relacionada.

Nesses casos devemos encontrar a nossa função de interesse,que nesse caso é a função área da esfera:

S t

Sabemos que a área de uma esfera é dado por:

S r = 4 π r 2

E temos que o raio dessa esfera cresce a uma taxa de:

d r d t = 2 c m / m i n

Para encontrar a taxa que a área cresce, podemos fazer que:

d S d t = d S d r d r d t

Passo 2

Sabemos que a área da esfera é dada por:

S = 4 π r 2

Logo, para achar a taxa de crescimento, basta derivar:

d S d t = d S d r × d r d t

A derivada da área com relação ao raio é:

d S d r = 4 π 2 r = 8 π r

E o problema nas dá que d r d t = 2 ,   logo:

d S d t = d S d r × d r d t

d S d t = 4 π 2 r 2

E sabemos que o queremos a taxa quando o raio é r = 8 c m , logo:

d S d t = 4 π × 2 × 8 × 2 = 128 π   c m 2 / m i n

Resposta

d S d t = 128 π   c m 2 / m i n

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