Enunciado

8- Sejam f e g duas funções definidas e deriváveis em R. Suponha que f(0) = 0, g(0) = 1 e que para todo x

f´(x) = g(x) e g´(x) = - f(x)

a)Mostre que, para todo x,

f x –   s e n   x 2 + g x - cos ⁡ x   2 =   0

b) Conclua de (a) que f(x) = sen x e g(x) = cos x

Passo 1

A primeira coisa que nós temos que fazer aqui é derivar, maxxx antes vamos abrir esses produtos notáveis :

H = f ( x ) 2 - 2 f(x) sen x + s e n 2   x   + g x 2 - 2 g(x) cos x + cos 2 ⁡ x

Agora, vamos derivar esse troço:

H´= 2 f(x) f(x)´ – 2 f(x)´sen x – 2 f(x) cos x + 2 sen x cos x + 2 g(x) g(x)´ - 2 g(x)´cos x + 2 g(x) sen x – 2 cos x sen x

Ficou grande e estranho né ?! Maxx vamos arrumar isso aqui pra ficar mais bonitinho.

Nesse momento vamos fazer as substituições : f´(x) = g(x) e g´(x) = - f(x)

Assim, teremos que :

H´= 2 f(x) g(x) – 2 g(x) sen x – 2 f(x) cos x + 2 sen x cos x - 2 g(x) f(x) + 2 f (x) cos x + 2 g(x) sen x – 2 cos x sen x

Pronto , agora ficou lindo !!!

H´= 0

Maxx calma que ainda não acabou . A gente só provou que essa função H é constante. Ainda temos que provar que para qualquer x a função é igual a zero.

Então nós podemos utilizar a condição inicial : f(0) = 0 e g(0) = 1

Vamos substituir esses valores na nossa função e ver o que vai dar :

H =   0 - s e n   0 2 +   1 - cos ⁡ ( 0 ) 2

Isso é igual a zero !!! Iupiii

Passo 2

Gente, como esses dois termos são produtos notáveis a única forma da soma deles dar zero é se

f(x) – sen x = 0 e g(x) – cos x = 0

Então,

f(x) = sen x e g(x) = cos x

Essa foi fácil né ?!

Resposta

a)H =   0 - s e n   0 2 +   1 - cos ⁡ ( 0 ) 2 = 0

b) f(x) = sen x e g(x) = cos x

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