Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 8
8- Sejam f e g duas funções definidas e deriváveis em R. Suponha que f(0) = 0, g(0) = 1 e que para todo x
f´(x) = g(x) e g´(x) = - f(x)
a)Mostre que, para todo x,
b) Conclua de (a) que f(x) = sen x e g(x) = cos x
Passo 1
A primeira coisa que nós temos que fazer aqui é derivar, maxxx antes vamos abrir esses produtos notáveis :
- 2 f(x) sen x + + - 2 g(x) cos x +
Agora, vamos derivar esse troço:
H´= 2 f(x) f(x)´ – 2 f(x)´sen x – 2 f(x) cos x + 2 sen x cos x + 2 g(x) g(x)´ - 2 g(x)´cos x + 2 g(x) sen x – 2 cos x sen x
Ficou grande e estranho né ?! Maxx vamos arrumar isso aqui pra ficar mais bonitinho.
Nesse momento vamos fazer as substituições : f´(x) = g(x) e g´(x) = - f(x)
Assim, teremos que :
H´= 2 f(x) g(x) – 2 g(x) sen x – 2 f(x) cos x + 2 sen x cos x - 2 g(x) f(x) + 2 f (x) cos x + 2 g(x) sen x – 2 cos x sen x
Pronto , agora ficou lindo !!!
H´= 0
Maxx calma que ainda não acabou . A gente só provou que essa função H é constante. Ainda temos que provar que para qualquer x a função é igual a zero.
Então nós podemos utilizar a condição inicial : f(0) = 0 e g(0) = 1
Vamos substituir esses valores na nossa função e ver o que vai dar :
H = +
Isso é igual a zero !!! Iupiii
Passo 2
Gente, como esses dois termos são produtos notáveis a única forma da soma deles dar zero é se
f(x) – sen x = 0 e g(x) – cos x = 0
Então,
f(x) = sen x e g(x) = cos x
Essa foi fácil né ?!
Resposta
a)H = + = 0
b) f(x) = sen x e g(x) = cos x