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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 21

Encontre (d y)/(d x) :

y = ln (tg (x))

Passo 1

Aqui temos uma função dentro da outra, e para resolver esse tipo de derivada usaremos a Regra da Cadeia para derivar uma função composta de duas funções.

Vamos fragmentar a função em f ( x ) e g ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

(f (g (x))^')

y = ln (tg (x))

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f (x) = l n ( g (x) )

u = g (x) = t g ( x )

Aplicando na Regra:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

f (u) = l n ( u )

u = t g ( x )

Derivando primeiro a função f em relação a u :

(d y)/(d u) = (1)/(u)

E derivando u em relação a x :

(d u)/(d x) = s e c^2 ( x )

Bora aplicar os valores obtidos na Regra da Cadeia?

Passo 3

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde:

Agora, só aplicarmos os termos calculados na Regra:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

(d y)/(d x) = (1)/(u) . s e c^2 ( x )

Substituindo u em (d y)/(d u) :

(d y)/(d x) = (1)/(t g ( x )) . s e c^2 ( x )

Antes de expressar a resposta, vamos fazer algumas transformações trigonométricas!

Passo 4

Nós obtivemos a seguinte resposta:

(d y)/(d x) = (s e c^2 ( x ))/(t g ( x ))

Sabemos que:

t g (x) = (s e n ( x ))/(c o s ( x )) e sec (x) = (1)/(c o s ( x ))

Substituindo em (d y)/(d x) :

(d y)/(d x) = (((1)/(c o s ( x )))^2)/((s e n ( x ))/(c o s ( x ))) = ((1)/(c o s^2 (x)) . c o s ( x ))/(s e n ( x )) = (1)/(cos (x) . s e n ( x ))

Usamos a identidade trigonométrica para substituir : cos (x) . s e n (x) = (1)/(2) . s e n (2 x) :

(d y)/(d x) = (1)/(cos (x) . s e n ( x )) = (1)/(s e n (2 x) . (1)/(2)) = (2)/(s e n ( 2 x ))

Fazendo outra substituição pela identidade trigonométrica, temos que : (1)/(s e n ( x )) = c o s s e c ( x ) .

Então:

(d y)/(d x) = (2)/(s e n ( 2 x )) = 2 c o s s e c ( 2 x )

(d y)/(d x) = 2 c o s s e c ( 2 x )

Resposta

(d y)/(d x) = 2 c o s s e c ( 2 x )

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