Encontre dy / dx :

y = ln(tg(x))

Passo 1

Aqui temos uma função dentro da outra, e para resolver esse tipo de derivada usaremos a Regra da Cadeia para derivar uma função composta de duas funções.

Vamos fragmentar a função em f ( x ) e g ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

f g x '

y = ln ⁡ tg ⁡ x

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f x = l n ⁡ ( g x )

u = g x = t g ⁡ ( x )

Aplicando na Regra:

d y d x = d y d u . d u d x

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

f u = l n ⁡ ( u )

u = t g ⁡ ( x )

Derivando primeiro a função f em relação a u :

d y d u = 1 u

E derivando u em relação a x :

d u d x = s e c 2 ( x )

Bora aplicar os valores obtidos na Regra da Cadeia?

Passo 3

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde:

Agora, só aplicarmos os termos calculados na Regra:

d y d x = d y d u . d u d x

d y d x = 1 u . s e c 2 ( x )

Substituindo u em d y d u :

d y d x = 1 t g ( x ) . s e c 2 ( x )

Antes de expressar a resposta, vamos fazer algumas transformações trigonométricas!

Passo 4

Nós obtivemos a seguinte resposta:

d y d x = s e c 2 ( x ) t g ( x )

Sabemos que:

t g x = s e n ( x ) c o s ⁡ ( x )   e sec ⁡ x = 1 c o s ⁡ ( x )  

Substituindo em d y d x :

d y d x = 1 c o s ⁡ ( x ) 2 s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) = 1 c o s 2 x . c o s ⁡ ( x ) s e n ( x ) = 1 cos ⁡ x . s e n ( x )

Usamos a identidade trigonométrica para substituir : cos ⁡ x . s e n x = 1 2 . s e n 2 x :

d y d x = 1 cos ⁡ x . s e n ( x ) = 1 s e n 2 x . 1 2 = 2 s e n ( 2 x )

Fazendo outra substituição pela identidade trigonométrica, temos que : 1 s e n ( x ) = c o s s e c ( x ) .

Então:

d y d x = 2 s e n ( 2 x ) = 2   c o s s e c ( 2 x )

d y d x = 2   c o s s e c   ( 2 x )

Resposta

d y d x = 2   c o s s e c   ( 2 x )

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