Enunciado

Use o método do Exemplo 3 para ajudar a efetuar a derivação indicada:

d d x l n . cos ⁡ x 4 - 3 x 2

Passo 1

Analisando a função a ser derivada, observamos se tratar de uma função complexa inserida dentro de uma função logarítmica. Nesse caso, as propriedade de logaritmo devem ser usadas antes de diferenciar a função envolvendo logaritmo.

Observe a estrutura da função a ser diferenciada:

d d x l n . cos ⁡ x 4 - 3 x 2

Como a função está expressa em termos de logaritmo, usaremos as propriedades de logaritmo ao nosso favor. E aqui vamos usar duas propriedades de logaritmo importantes:

Aplicando essas propriedades na função:

d d x l n . cos ⁡ x 4 - 3 x 2 = d d x [ ln ⁡ cos ⁡ x - 1 2 . ln ⁡ 4 - 3 x 2 ]

O resultado dessa derivada é a subtração das derivadas dos logaritmos naturais:

d d x l n . cos ⁡ x 4 - 3 x 2 = d d x ln ⁡ cos ⁡ x - d d x [ 1 2 . ln ⁡ 4 - 3 x 2 ]

Calcularemos essas derivadas separadamente, chamando as subfunções de A e B :

A = d d x ln ⁡ cos ⁡ x

B = d d x [ 1 2 . ln ⁡ 4 - 3 x 2 ]

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a derivada A :

A = d d x ln ⁡ cos ⁡ x

Usaremos a Regra da Cadeia, onde:

y ' = f ' u . u '

E os termos e resolvendo as derivadas:

f u = l n ⁡ ( u )

f ' u = 1 u

u = c o s ⁡ ( x )

u ' = - s e n ( x )

Aplicando na Regra da Cadeia :

y ' = f ' u . u '

A ' = 1 u . - s e n x = - s e n x cos ⁡ x = - t g ( x )

Reorganizando a fórmula, temos:

A ' = - t g ( x )

Passo 3

Agora, vamos resolver a derivada B :

B = d d x [ 1 2 . ln ⁡ 4 - 3 x 2 ]

Usaremos a Regra da Cadeia, onde:

y ' = f ' u . u '

E os termos e resolvendo as derivadas:

f u = 1 2 . l n ⁡ ( u )

f ' u = 1 2 u

u = ( 4 - 3 x 2 )

u ' = - 6 x

Aplicando na Regra da Cadeia :

y ' = f ' u . u '

B ' = 1 2 u . - 6 x = - 6 x 2 ( 4 - 3 x 2 )

Simplificando temos:

B ' = - 3 x ( 4 - 3 x 2 )

Passo 4

Retornando para o foco principal do problema, a resolução da diferenciação logarítmica :

d d x l n . cos ⁡ x 4 - 3 x 2 = d d x ln ⁡ cos ⁡ x + d d x [ 1 2 . ln ⁡ 4 - 3 x 2 ]

d d x l n . cos ⁡ x 4 - 3 x 2 = A ' - B '

d d x l n . cos ⁡ x 4 - 3 x 2 = - t g x - - 3 x ( 4 - 3 x 2 )

d d x l n . cos ⁡ x 4 - 3 x 2 = - t g x + 3 x ( 4 - 3 x 2 )

Resposta

d d x l n . cos ⁡ x 4 - 3 x 2 = - t g x + 3 x ( 4 - 3 x 2 )

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