Encontre uma função f tal que y = f(x) satisfaz dy/dx = e^(-y) , com y = 0 quando x = 0 .

Passo 1

Nós temos que :

d y d x = e - y

Como a derivada fornecida, e as condições dadas são as mesmas que a do exercício 49 (que provamos que a verificação é correta), vamos utilizar a mesma função como base, substituindo o valor de e por c é a nossa constante que queremos descobrir o valor. Se :

f x = l n ⁡ ( x + c )

Derivando :

d x d y = 1 x + c  

Passo 2

Agora, podemos igualar as derivadas:

d y d x = d y d x

1 x + c = 1 e y

Aplicando os valores, nas condições dadas, com y   =   0 quando x   =   0 :

1 0 + c = 1 e 0

Multiplicando cruzado as frações, temos que:

c = 1

Logo, a função que satisfaz as condições propostas pelo exercício é:

f x = l n ⁡ ( x + 1 )

Resposta

f x = l n ⁡ ( x + 1 )

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