Enunciado

Suponha que lim x → p ⁡ f x = L . Prove que existem r > 0 , α e β tais que, para todo x ∈ D f ,

0 < x - p < r ⟹ α < f x < β .

Interprete graficamente.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na definição precisa de limite, temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que

se 0 < x - a < δ então L - ε < f x < L + ε

Passo 2

Vamos supor que   r > 0 , e sendo lim x → p ⁡ f x = L , para todo ε > 0 tal que para todo x ∈ D f :

0 < x - p < r ⟹ L - ε < f x < L + ε

Para α = L - ε e β = L + ε :

0 < x - p < r ⟹ α < f x < β

Graficamente temos:

Aqui temos que f x está próximo de L quando x está próximo de p , pois 0 < x - a < δ então L - ε < f x < L + ε nos diz que podemos fazer os valores de f x ficarem dentro de uma distância de ε 2 de p .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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