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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 22

Encontre (d y)/(d x) :

y = (e^x)/(l n ( x ))

Passo 1

Considerando a função : y = (e^x)/(l n ( x ))

Precisamos achar (d y)/(d x) .

Se consideraros :

f = e^x

g = l n ( x )

Vamos derivar os termos separadamente:

f^' = e^x

g^' = (1)/(x)

Agora, como estamos falando de uma divisão de duas funções, vamos usar a regra do quociente, onde :

(d y)/(d x) = (f)/(g) = (f^' g - g ' f)/(g^2)

Aplicando os termos calculados na fórmula, temos:

(d y)/(d x) = (e^x . l n ( x ) - ((1)/(x)) e^x)/((l n ( x ))^2) = (e^x ( ln (x) - ((1)/(x)) ))/(( ln x^2 ))

Unindo alguns termos matematicamente:

(d y)/(d x) = (e^x . ((x l n (x) - 1)/(x)))/((l n ( x ))^2) = (e^x (x . ln (x) - 1))/(x (l n ( x ))^2)

(d y)/(d x) = (e^x (x . ln (x) - 1))/(x (l n ( x ))^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (e^x (x . ln (x) - 1))/(x (l n ( x ))^2)

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