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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 52

Encontre (d y)/(d x) :

y = l n ( a r c cos (x) )

Passo 1

Para solucionar esse problema, utilizaremos a regra da cadeia, pois trata-se de uma função composta do tipo:

f (g (x))

Considerando nossa função:

y = l n ( a r c cos (x) )

Para usar a regra da cadeia, faremos :

f (u) = ln (u)

(d [f (u)])/(d u) = (1)/(u)

u = cos^(- 1) ( x )

Passo 2

Para derivar uma função trigonométrica desse tipo, vamos considerar que u é uma função diferenciável de x , permitindo que a Regra da Cadeia produza uma versão generalizada para resolver essa diferencial:

(d u)/(d x) = (d [cos^(- 1) (x)])/(d x) = (- 1)/(sqrt(1 - x^2)) . (d [ x ])/(d x)

Aplicando na fórmula, temos que:

(d u)/(d x) = (- 1)/(sqrt(1 - (x)^2))

Passo 3

Agora, podemos aplicar na regra da cadeia, que diz que:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Substituindo os termos calculados, temos que:

(d y)/(d x) = (1)/(u) . (- 1)/(sqrt(1 - (x)^2))

Substituindo u na equação :

(d y)/(d x) = (1)/(cos^(- 1) ( x )) . (- 1)/(sqrt(1 - (x)^2))

Reorganizando :

(d y)/(d x) = (- 1)/(cos^(- 1) ( x ) sqrt(1 - x^2))

Resposta

(d y)/(d x) = (- 1)/(cos^(- 1) ( x ) sqrt(1 - x^2))

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