Encontre f'(x) e f''(x) .

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f(x) = x^4 * e^x

Passo 1

Deseja-se obter f ' ( x ) e f " ( x ) dado

f x = x 4 e x

A derivada de f ( x ) pode ser calculada pela Regra da Derivada do Produto, assim:

u v ' = u ' v + u v '

Ou seja, deriva o primeiro repete o segundo “mais” repete o primeiro e deriva o segundo.

Nesse caso,temos uma função potência onde podemos usar a regra do peteleco:

x n ' = n x n - 1

E temos uma função e x que a derivada é ela mesma.

Depois, para encontrar a f ' ' x , basta derivarmos a f ' x .

Passo 2

Para obter f ' x ,vamos derivar a função f x que é:

f x = x 4 e x

Aplicando a regra do produto temos:

f ' x = 4 x 3 ) ( e x + x 4 e x

= 4 x 3 + x 4 e x

Passo 3

Para obtermos a segunda derivada de f ( x ) basta derivarmos f ' ( x ) que é:

f ' x = 4 x 3 + x 4 e x

Podemos usar novamente a Regra da Derivada do Produto, desta forma:

f ” x = 12 x 2 + 4 x 3 e x + 4 x 3 + x 4 e x

= ( x 4 + 8 x 3 + 12 x 2 ) e x

Resposta

f ' x = 4 x 3 + x 4 e x

f " ( x ) = ( x 4 + 8 x 3 + 12 x 2 ) e x

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