Traçar num mesmo sistema de coordenadas as funções e .Usando a visualização gráfica, responder:
- Quantas são as retas tangentes a ambas as parábolas?
- Quais são os pontos de tangência?
- É possível encontrar essas retas algebricamente?
Passo 1
Vamos ver os gráficos das funções primeiro...
- Como podemos ver pelo gráfico, temos duas retas tangentes que são comuns aos dois gráficos.
- Vemos pelo gráfico que os pontos de tangência são onde , e que as funções são simétricas, então temos os pontos:
- Algebricamente falando, a gente faz as derivadas das funções:
Passo 2
Passo 3
Considerando os pontos e , sendo que pela figura vemos que e .
Aí montando a equação da reta tangente em
Substituindo agora no ponto :
Como esses pontos pertencem às funções, vamos substituir isso na equação da função:
Encontramos os valores de nas retas tangentes então. E daí vemos que os valores de são .
Com esses pontos, escrevemos as equações das retas tangentes:
- (1,2) e (-1, -2):
E, por simetria, a outra é .
Resposta
- Duas.
- e .