Encontre f ' ( a ) : f x = 1 x + 2

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 29

Encontre :

Passo 1

Meus amores, aqui temos uma função:

E queremos achar sua derivada no ponto .

Pra isso, vamos partir da definição de derivada em um ponto qualquer, que é essa aqui:

Então pra completar essa fórmula, precisamos primeiro definir quem são:

E pra fazer isso, vamos substituir e em todos os lugares onde aparece na função.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é:

Fazendo , vamos substituir por :

Agora, substituindo por :

Agora esse dois caras podem ser substituídos no nosso limite, entendeu? Vai ficar assim:

Passo 3

Nosso próximo passo é tentar escrever nosso limite de uma forma mais amigável, que a gente consiga olhar e resolver ele mais fácil, beleza? Bora lá:

Dividir por é o mesmo que multiplicar por , aí fiz essa pequena alteração para a expressão ficar mais bonita, ta bom? Arrumamos a primeira fração um pouco também, no denominador, eliminando os parênteses de dentro da raíz.

Agora, temos que achar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre as duas frações. Vai ficar assim:

Para fazer aparecer números fora da raíz no numerador, temos que multiplicar pelo conjugado dele, que é . A multiplicação tem que ser tanto em cima quanto em baixo, beleza? É isso aqui que vamos fazer:

Olha só o que vamos ter agora:

Cancelando essa potência com a raiz, vai dar isso aqui:

Fazendo as continhas no numerador, vamos ter:

Pronto! Já arrumamos a nossa expressão! Pode parecer que ficou estranhão esse denominador, mas relaxa e olha o próximo passo que vais ver que ta tudo certo! ;)

Passo 4

Se substituirmos para tentar resolver o limite na expressão que temos, encontraremos a indeterminação . A gente pode resolver isso se cancelarmos o do numerador com o do denominador:

Olha aí, eliminamos a indeterminação! Não mexemos no denominador no passo anterior porque assim como tá a gente resolve o limite e tem menos trabalho, sem precisar mexer nesse bando de raíz. Com o tempo você vai ver que nesse estilo de questão é melhor não mexer no denominador, só no numerador para resolver mais rápido, beleza?

Vamos agora fazer a substituição para resolver o limite! Saca só:

Agora vamos arrumar pra ela ficar bonitinha:

Pronto! Essa aqui já era!

Resposta

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